[几何] 一道向量条件外接圆三角形面积（from 人教数学群）

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2013-5-23 00:06

PS、后面还补充到：$O$ 是 $\triangle ABC$ 外心。

大概应该是
\[2S=\sqrt{1-\biggl( \frac{1+\mu^2-\lambda^2}{2\mu} \biggr)^2}\biggl( 1+\frac{1+\lambda^2-\mu^2}{2\lambda} \biggr)+\sqrt{1-\biggl( \frac{1+\lambda^2-\mu^2}{2\lambda} \biggr)^2}\biggl( 1+\frac{1+\mu^2-\lambda^2}{2\mu} \biggr)\]

这个式子对原题有没有用哩？……

细节不说太多，直接上图解

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2013-5-23 00:12

\begin{align*}
2S&=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta) \\
&=\sin\alpha(1+\cos\beta)+\sin\beta(1+\cos\alpha) \\
&=\sqrt{1-\cos^2\alpha}(1+\cos\beta)+\sqrt{1-\cos^2\beta}(1+\cos\alpha) \\
&=\sqrt{1-\biggl( \frac{1+\mu^2-\lambda^2}{2\mu} \biggr)^2}\biggl( 1+\frac{1+\lambda^2-\mu^2}{2\lambda} \biggr)+\sqrt{1-\biggl( \frac{1+\lambda^2-\mu^2}{2\lambda} \biggr)^2}\biggl( 1+\frac{1+\mu^2-\lambda^2}{2\mu} \biggr).
\end{align*}

一看答案那么复杂就胆怯

3# 李斌斌755

我只是无聊将表达式算出来而已，其实原题的答案不是那个，也大概不需要它。

其实只要用 $2S=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)$ 这条式子或者就行了，和差化积，有
\[2S=2\cos\frac{\alpha-\beta}2\sin\frac{\alpha+\beta}2+\sin(\alpha+\beta),\]
因为
\[\cos(\alpha+\beta)=\frac{1-\lambda^2-\mu^2}{2\lambda\mu}=\frac{1-(\lambda-\mu)^2}{2\lambda\mu}-1,\]
故由 $\lambda>1$, $\mu>1$ 且 $\abs{\lambda-\mu}<1$ 可以得到 $\alpha+\beta\in(120\du,180\du)$，即得 $\cos\bigl((\alpha-\beta)/2\bigr)\in(0,1]$，记 $t=(\alpha+\beta)/2\in(60\du,90\du)$，故
\[\sin2t<2S\leqslant2\sin t+\sin2t,\]
……

其实极端考虑也可以比较严格，当然由于时间关系我下面说得比较简略。
首先熟知定圆内接三角形当且仅当正三角形时面积最大，然而由条件易知三角形不可能为正三角形，故必有 $S<3\sqrt3/4$，但是我们让 $\lambda\to1^+$, $\mu\to1^+$ 时能让其无限接近正三角形，即 $S\to\bigl(3\sqrt3/4\bigr)^-$，于是得到 $S$ 的上确界为 $3\sqrt3/4$；
另一方面，我们让 $\lambda\to1^+$, $\mu\to2^-$，易知此时 $S\to0^+$，于是可以得到 $S$ 的下确界为 $0$。
而易见当 $\lambda$, $\mu$ 连续变化时 $S$ 也连续变化，所以 $S$ 的取值范围就是 $\bigl(0,3\sqrt3/4\bigr)$。

6# kuing
照你那样做的话，野猪的题就没什么意思了，猜测是不是他在做某个题时的得到的副产品，然后自己编一个题，还说是选择题，但选项都不给出，条件还少了两个：半径为1，O为圆心，后来经网友质问再加的，说的颠三倒四的。还有呢此题是他在那个简单数列题受阻后抛出的此题，看看谁会这道题。
另外，用结论$S=\dfrac12(\sin2A+\sin2B+\sin2C)=2(\sin A\sin B\sin C)=\dfrac{pr}{2R^2}\leqslant \dfrac{\sqrt3}{4}$，其中p为半周长。根据$\lambda>1,\mu>1$，得$C<60^0$，故上式不可能取等号。
那就说明那个向量的条件用处不大，基本是忽悠人的，此题出的很不好。

2# kuing


这个式子估计不是yezhu想要的结果