[不等式] 和为 1 找最大 $\sum (x+1)\sqrt{x}$

$x,y,z>0, x+y+z=1$ find max \[\sum (x+1)\sqrt{x}\]

PS、标题是我改嘀。

$x,y,z>0, x+y+z=1$ find max \[\sum (x+1)\sqrt{x}\]
Gauss门徒 发表于 2013-5-22 16:30

由对称性不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则 $z\geqslant 1/3$, $x+y\leqslant 2/3$。
记 $f(x)=(x+1)\sqrt{x}$，则
\begin{align*}
\left(2f\left(\frac{x+y}2\right)\right)^2-\bigl(f(x)+f(y)\bigr)^2
&=\frac12\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\bigl(2-(x+y)^2+2xy-2\sqrt{xy}(2+x+y)\bigr)\\
&\geqslant \frac12\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\left(2-\frac49+2xy-2\sqrt{xy}\left(2+\frac23\right)\right)\\
&=\frac19\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\bigl(1-3\sqrt{xy}\bigr)\bigl(7-3\sqrt{xy}\bigr),
\end{align*}
显然 $\sqrt{xy}\leqslant 1/3$，故我们得到了
\[f(x)+f(y)\leqslant 2f\left(\frac{x+y}2\right)=2f\left(\frac{1-z}2\right),\]
所以只要求
\[g(z)=f(z)+2f\left(\frac{1-z}2\right)\]
在 $[1/3,1]$ 上的最大值。

待续……

一般来说，见到门徒的题就兜路走...

续 2#
\[g(z)=(z+1)\sqrt z+\frac{(3-z)\sqrt{1-z}}{\sqrt2},\]
求导得
\[g'(z)=\frac{3z+1}{2\sqrt z}+\frac{3z-5}{2\sqrt2\sqrt{1-z}},\]
有理化右边，有
\[\left(\frac{3z+1}{2\sqrt z}+\frac{5-3z}{2\sqrt2\sqrt{1-z}}\right)g'(z)
=\frac{(3z+1)^2}{4z}-\frac{(3z-5)^2}{8(1-z)}=\frac{(2-3z)(3z-1)^2}{8z(1-z)},\]
故由 $z\leqslant1$ 可知，当且仅当 $z=2/3$ 时 $g(z)$ 取最大值，为
\[g\left(\frac23\right)=\frac{17}{3\sqrt6},\]
即为所求。