[几何] 三角形的作图问题

给定$\triangle ABC$和三定点$D$、$E$、$F$，求作三直线$PQ$、$QR$、$RP$，使点$P$在直线$BC$上，点$Q$在直线$CA$上，点$R$在直线$AB$上，点$D$在直线$QR$上，点$E$在直线$RP$上，点$F$在直线$PQ$上。

(9.48 KB)

2013-5-21 15:53

李斌斌755

论坛元老

UID: 148
帖子: 619

2^#

发表于 2013-5-22 03:46

曾见过这题，主要一个$\triangle PRQ$对应无数个$\triangle DEF$，有点蒙……

211.png (19.2 KB)

hejoseph

中级会员

UID: 627
帖子: 43

3^#

发表于 2013-5-22 14:45

什么意思？
现在是点$D$、$E$、$F$已知求点$P$、$Q$、$R$，不是点$P$、$Q$、$R$已知求点$D$、$E$、$F$。

李斌斌755

论坛元老

UID: 148
帖子: 619

4^#

发表于 2013-5-22 15:40

3# hejoseph
我知道，我的意思是定的$A,B,C$，不同的$D,E,F$，也能做出相同的$P,Q,R$。

hejoseph

中级会员

UID: 627
帖子: 43

5^#

发表于 2013-5-22 17:59

本帖最后由 hejoseph 于 2013-5-22 19:08 编辑

发个解法，尺规作图法理论上可行，不过我没找到比较好的办法。

(62.51 KB)

2013-5-22 17:59

在直线$AB$上任取不同于点$A$、$B$的四点$R_1$、$R_2$、$R_3$、$R_4$，作直线$DR_1$、$DR_2$、$DR_3$、$DR_4$分别交直线于点$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、$Q_4$，分别作直线$R_1E$与$Q_1F$、$R_2E$与$Q_2F$、$R_3E$与$Q_3F$、$R_4E$与$Q_4F$的交点$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$，过点$A$、$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$作圆锥曲线，则这条圆锥曲线与直线$BC$的交点就是所求的点$P$，从而就确定了点$Q$和$R$。

第一章

高级会员

UID: 82
帖子: 129

6^#

发表于 2013-5-22 21:34

圆锥曲线？何种？是否跟这些点的具体位置有关？

李斌斌755

论坛元老

UID: 148
帖子: 619

7^#

发表于 2013-5-23 01:57

本帖最后由李斌斌755 于 2013-5-23 01:59 编辑

如图，在$\triangle ABC$三边$AB,AC,BC$上分别各取两点$R,R_1,Q,Q_1,P,P_1$，分别连结$QP,QR,PR,Q_1P_1,Q_1R_1,P_1R_1$。$D,E,F$分别为$RQ$与$Q_1R_1$、$RP$与$R_1P_1$、$QP$与$Q_1P_1$交点。这样一看，反过来，对于该$D,E,F$点来说不就可以做出两组$P,Q,R$了