[数论] 睡神的一个猜想

睡神(20*****7)
给定正整数$p,q，1<p<q$，则不存在无数个正整数n，使得$p^n\mid{q^n-1}$.

"不存在无数个"这样的说法有点怪。
建议改成: 对于任意满足1<p<q的整数p, q，使p^n|(q^n-1)成立的正整数n的个数有限或不存在。

显然若$(p,q)\ne1$,则不存在正整数n,以下有$(p,q)=1$
假设存在无数个正数n,对给定p,q,有$p^n\mid{q^n-1}$
取n=m>n=k为其中2个符合$p^n\mid{q^n-1}$的解.
那么$p^k\mid{(q^m-1,q^k-1)}$,而$(q^k-1,q^m-1)=(q^k-1,q^m-q^k)=(q^k-1,q^{m-k}-1)=\cdots=1$,矛盾.
所以猜想成立.

$p^n|(q^n-1)$是啥意思？

就是整除的意思,比如$4\mid{16},4\nmid{15}$

5# realnumber
谢谢

3# realnumber
我有个疑问，望朱老师解答解答
我们知道，当q为奇数时，(q^m-1,q^k-1)≠1，和你的推导有点矛盾哦~
或者说，是我理解错了你的解答呢？

2# kuing
k神的表达很好，努力向k神学习！！！

7# 零定义


恩,确实,明天继续了,不知道能不能补好

显然若$(p,q)\ne1$,则不存在正整数n,以下有$(p,q)=1$
假设存在无数个正数n,对给定p,q,有$p^n\mid{q^n-1}$
取n=m>n=k为其中2个符合$p^n\mid{q^n-1}$的解.
那么$p^k\mid{(q^m-1,q^k-1)}$,而$(q^k-1,q^m-1)=(q^k-1,q^m-q^k)=(q^k-1,q^{m-k}-1)=\cdots=q-1$,k可以任意大，p-1为常数，矛盾.
所以猜想成立.

10# realnumber
还是有点疑问...
例：取p=2,q=3,m=4,k=2，感觉木有$(q^m-1,q^k-1)$=p-1=1吧？

10# realnumber
终于看到朱老师的证明问题出在何处了...
1、对于有限问题反证时，应该往上证，而不是向下证；
2、由假设本身就有$(q^k−1,q^m−1)=a*p^k$，毕竟不是证明不存在.
以上两点纯属个人见解，如有不是，望见谅！

$(q^k-1,q^m-1)=(q^k-1,q^m-q^k)=(q^k-1,q^{m-k}-1)=\cdots=q-1$,--这个不是假设，是用(a,b)=(a,b-a)得出来的.
k可以任意大，p-1为常数，矛盾.
我还是觉得证明没问题
=1删去了,刚才输入有错误，是q-1,不是p-1---10楼已经修改了

这个猜想源于在某数学群看到两个数论题. 当时觉得一个北京的老师说话语气有点过，一时气愤，解出了那两个数论题.
下面把原题与个人解答也贴上来吧~

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2013-5-21 21:07

(16.71 KB)

2013-5-21 21:07

对于第二个问题，原出题者看了解答后，觉得可以因式分解，太简单了，他便随意的改成了问题3.

(40.13 KB)

2013-5-21 21:07

各位弟兄，指点指点小弟吧~

13# realnumber
感觉还是有点问题吧？
例：$p=2,q=3,m=4,k=2$，则$(q^m-1,q^k-1)=8≠q-1$

加强：对于任意满足1<p<q且$p\nmid q-1$的整数p,q，使$p^n|(q^n-1)$成立的正整数n不存在；反之，则正整数n的个数有限.
不知道对与否？

加强不对的,$4\nmid 15-1$,$4^2\mid 15^2-1$
原题,不会,继续想

17# realnumber

原题是错的，例：$q=p^2$，此时有无限个解.
这个是群里改了的，我还是改回我原来的意思吧~
对于任意满足$1<p<q$且$(p,q)=1$的整数$p,q$，使$p^n|(q^n-1)$成立的正整数$n$的个数有限或不存在.

18# 零定义
不需要条件(p,q)=1,$q=p^2$无限个解好象没那会事.

19# realnumber
噢…的确…自己开始犯傻了…