[几何] 再转一个人教群内题

已知:曲线$C:f(x)=x+\dfrac ax$,$(a>0)$与直线$l:y=x$,在曲线$C$上有一个动点$P$,过点$P$分别作直线$l$和$y$轴的垂线,垂足分别为$A$,$B$,再过$P$作曲线$C$的切线,分别与直线$l$和$y$轴交于点$M$,$N$,$O$是坐标原点,若$\triangle APB$的面积为$\dfrac 12$,则$\triangle OMN$的面积为

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2013-5-20 15:52

1# hongxian

补个图

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2013-5-20 15:55

1# hongxian


注意到函数图像是以y轴和y=x为渐近线的双曲线，
由双曲线的性质，
△APB与△OMN的面积都是定值（与P的选择无关），
于是取P为函数最值点$(\sqrt a ,2\sqrt a )$，
接下来很容易算了……

3# 地狱的死灵

记起K有一个贴子,对勾函数实质为双曲线.

4# hongxian
可以转换。

首先有一个引理：
双曲线的切线与两渐近线交点的中点为切点。

引理晚点再证，现在先直接拿来用。

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2013-5-20 20:46

如图，那条曲线是任意双曲线，那两条是直线为其渐近线，类似于原题那样作垂线、切线，取 $Q$ 为 $OM$ 的中点。

因为 $PA\perp OA$, $PB\perp OB$，故 $P$, $A$, $O$, $B$ 四点共圆，从而 $\angle ABP=\angle POQ$。
由引理知 $PQ$ 为 $\triangle OMN$ 的中位线，故 $\angle BAP=\angle BOP=\angle OPQ$。
这样就得到了
\[\triangle PAB \sim \triangle QPO,\]
且相似比为
\[\frac{AB}{PO}=\frac{AB}{2R}=\sin\angle AOB,\]
又由中位线易知 $S_{\triangle OMN}=4S_{\triangle OPQ}$，所以
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle OMN}}=\frac{S_{\triangle PAB}}{4S_{\triangle OPQ}}=\frac{\sin^2\angle AOB}4.\]

回到原题，易知 $y=a/x+x$ 为双曲线，$x=0$ 及 $y=x$ 为其两渐近线且夹角为 $45\du$，故 $\sin^2\angle AOB=1/2$，所以 $S_{\triangle PAB}/S_{\triangle OMN}=1/8$。

关于楼上那个引理，其实我也没想到纯几何证法，只想到了下面这样子搞。

先证明 $y=a/x$ 时成立（见http://bbs.pep.com.cn/thread-316595-1-1.html）；
然后通过变换 $(x,y)\to(x,y+kx)$，变成一般的 $y=a/x+kx$ 的情形，就像下图那样子，仍然有相切和中点，故成立。

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2013-5-20 21:32

PS、由此还可以看出图中两种情况的那个面积是一样的，再结合前面链接中的内容，也就印证了3#的说法。

链接一个资料
http://www.doc88.com/p-23371520738.html

8# 李斌斌755

太代数了，没心思看

看来，在$y=\dfrac 1x$成立的好结论，好多在双曲线标准形式下亦是成立的了