[函数] 一个函数老题目(3)

江苏省扬州中学2012—2013学年度第二学期高二期中考试第14题

1# 转化与化归
见过一种方法，看成关于$a,b$的方程，不知行不行。

2# 李斌斌755
估计不行

这个原题是2012浙江理科高考最后一题的第二小题

4# goft


2012课标卷也有这样的类型

由 $f(x)=4ax^3-2bx-a+b$ 容易计算出 $2f(0)+f(1)=a+b$。
由条件知 $-1\leqslant f(0)\leqslant1$, $-1\leqslant f(1)\leqslant1$，得到 $-3\leqslant a+b\leqslant3$。
而当 $a=1$, $b=2$ 时 $f(x)=4x^3-4x+1$ 满足条件；当 $a=-1$, $b=-2$ 时 $f(x)=-4x^3+4x-1$ 也满足条件，从而 $a+b$ 最大值为 $3$，最小值为 $-3$。
估计一般来说解到这里就被结束了，但其实至于中间的值是否完全能取到，还需要进一步论证……

糟糕！看漏了 $a>0$楼上最小值的情况错了……

还好修正也不是难事。

由 $f(x)=4ax^3-2bx-a+b$ 容易计算出 $2f(0)+f(1)=a+b$。
由条件知 $f(0)\leqslant1$, $f(1)\leqslant1$，得到 $a+b\leqslant3$。
而当 $a=1$, $b=2$ 时 $f(x)=4x^3-4x+1$ 满足条件，故 $a+b$ 的最大值为 $3$。

另一方面，容易计算出 $f(0)+f(1)=2a>0$，故 $a+b=2f(0)+f(1)>f(0)$，由条件知 $f(0)\geqslant-1$，故 $a+b>-1$。
而当 $a=\veps$, $b=-1+3\veps$ 并且 $0<\veps<1/3$ 时，$f(x)=4\veps x^3+(2-6\veps)x+2\veps-1$ 显然递增，故当 $x\in[0,1]$ 时 $-1+2\veps=f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)=1$，即此时 $f(x)$ 满足条件，因此当 $\veps\to0^+$ 时就有 $a+b=-1+4\veps\to-1^+$，这样我们就得到 $a+b$ 的下确界是 $-1$。

中间的值是否能完全取到仍然需要论证，但是由后半部分的证明我们可以看出一个构造的思路，待续……

8# kuing
期待中！

原来直接就用回8楼那个构造就可以了，下面来续 8#：

当 $a=\veps$, $b=-1+3\veps$ 时，$f(x)=4\veps x^3+(2-6\veps)x+2\veps-1$，我们将证明此 $f(x)$ 对于所有 $\veps\in(0,1]$ 都是满足题意的。

（1）当 $0<\veps<1/3$ 时 8# 上已经证出是满足题意的；

（2）当 $1/3\leqslant\veps\leqslant1$ 时，求导得 $f'(x)=12\veps x^2+2-6\veps$，由 $f'(0)=2-6\veps\leqslant0<f'(1)=2+6\veps$ 知存在 $x_0\in[0,1]$ 使得当 $x=x_0$ 时 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上取最小值，此时 $f'(x_0)=0$，即 $6\veps x_0^2+1-3\veps=0$，于是
\[f(x_0)+1=2x_0+2\veps(2x_0^3-3x_0+1)=2x_0+\frac2{3(1-2x_0^2)}(2x_0^3-3x_0+1) =\frac{2(1-4x_0^3)}{3(1-2x_0^2)},\]
又由 $6\veps x_0^2+1-3\veps=0$ 及 $\veps\leqslant 1$ 得到
\[x_0=\sqrt{\frac12-\frac1{6\veps}}\leqslant\sqrt{\frac12-\frac1{6}}=\frac1{\sqrt3}
\riff x_0^3\leqslant \frac1{3\sqrt3}<\frac14,\]
这样我们就得到了 $f(x_0)>-1$，即此时 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值大于 $-1$。
而由导数的表达式知最大值必在端点处取得，由 $\veps\leqslant 1$ 同样有 $f(0)=-1+2\veps\leqslant 1$ 且 $f(1)=1$，所以此时的 $f(x)$ 都满足题意。

综上所述，当 $\veps$ 取遍 $(0,1]$ 时，$a+b=-1+4\veps$ 取遍 $(-1,3]$。

这样，综合 8# 以及本楼的所有内容，我们可以肯定地说：$a+b$ 的取值范围就是 $(-1,3]$。

总感觉可以线性规划，就是……