[不等式] 是真是假？

设$x\in(0,\dfrac{pi}{2}$,若果$x\sin^2x\geqslant1$,那么$xsinx\geqslant1$成立吗？

设$x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$,如果$x\sin^2x<1$,则$x\sin x<1$成立吗？

2# pengcheng1130
\[x\sin^2x<1\iff x\sin x<\dfrac1{\sin x}>1\]

设 $f(x)=x\sin^2x$, $g(x)=x\sin x$，易知它们都在 $(0,\pi/2)$ 上单增，且 $f(0)=g(0)=0$, $f(\pi/2)=g(\pi/2)=\pi/2>1$，从而它们在 $(0,\pi/2)$ 上分别存在唯一的 $a$ 和 $b$ 使得 $f(a)=g(b)=1$，由此可得 $g(b)=f(a)=a\sin^2a<a\sin a=g(a)$，从而 $b<a$。
由此，我们得到：
当 $x\in(0,b)$ 时，$f(x)<1$, $g(x)<1$；
当 $x=b$ 时，$f(x)<1$, $g(x)=1$；
当 $x\in(b,a)$ 时，$f(x)<1$, $g(x)>1$；
当 $x=a$ 时，$f(x)=1$, $g(x)>1$；
当 $x\in(a,\pi/2)$ 时，$f(x)>1$, $g(x)>1$。
这样，便可知 1# 正确，2# 错误。