转一个人教群看到的题

设$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是前$n$个正数1,2,$\cdots$,$n$的任意次序的排列($n\in N^*$),定义$f(x)$为$x$中每两个相邻元素的差的绝对值的最小值.
(1)当$n=5$时,求$f(x)$的取值集合;
(2)求$f(x)$的最大值;

第一问略；

第二问：以下设 $k\in\mbb N^+$。

当 $n=2k$ 时，考查数 $k$ 与其相邻的数 $x_i$ 之差的绝对值，显然只有当 $x_i=n$ 时 $\abs{k-x_i}$ 最大，为 $n-k=k$，所以 $f(\boldsymbol x)\leqslant k$，而排列
\[\boldsymbol x=(k, n, k-1, n-1, k-2, n-2, \ldots, 1, k+1)\]
满足 $f(\boldsymbol x)=k$，从而此时 $f(\boldsymbol x)$ 的最大值就是 $k$；

当 $n=2k-1$ 时，考查数 $k$ 与其相邻的数 $x_i$ 之差的绝对值，显然只有当 $x_i=n$ 或 $x_i=1$ 时 $\abs{k-x_i}$ 最大，为 $n-k=k-1$，所以 $f(\boldsymbol x)\leqslant k-1$，而排列
\[\boldsymbol x=(1, k, n, k-1, n-1, k-2, n-2, \ldots, 2, k+1)\]
满足 $f(\boldsymbol x)=k-1$，从而此时 $f(\boldsymbol x)$ 最大值就是 $k-1$。

综上所述，$f(\boldsymbol x)$ 的最大值为 $\lfloor n/2\rfloor$。

1# hongxian
最小值的最大值，好难懂

正好当练习
$\newcommand\asdf{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{2k-1}-x_{2k}|}$
$\newcommand\asd{|x_1-x_2|+|x_3-x_3|+\cdots+|x_{2k-1}-x_{2k}|}$
$\newcommand\as{|x_2-x_3|+|x_3-x_3|+\cdots+|x_{2k-2}-x_{2k-1}|}$
当$n=2k,k\in\mbb N^+$，设$M=\asdf$。从  http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1379-1-5.html标答中得到启发
\[\begin{aligned}M&=(\overbrace{\asd}^{k~个})+(\overbrace{\as}^{k-1~个})\\&\leqslant[(k+1)+(k+2)+\cdots+2k]-(1+2+\cdots+k)\\&+[(k+1)+(k+2)+\cdots+(2k)]-[1+2+\cdots+(k-1)]\\&=2k^2-k\end{aligned}\]
到这不知道如何表达，总之$M$里面有$2k-1$个$f(x),[f(x)_{\min}]_{max}=\dfrac{2k^2-k}{2k-1}=k=\dfrac n2$（奇怪能正除）
电脑卡，晚些再打$n=2k-1,k\in\mbb N^+$情况
$\newcommand\asdf{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{2k-2}-x_{2k-1}|}$
$\newcommand\asd{|x_1-x_2|+|x_3-x_3|+\cdots+|x_{2k-3}-x_{2k-2}|}$
$\newcommand\as{|x_2-x_3|+|x_3-x_3|+\cdots+|x_{2k-2}-x_{2k-1}|}$
当$n=2k-1,k\in\mbb N^+$，设$M=\asdf$。
\[\begin{aligned}M&=(\overbrace{\asd}^{k-1~个})+(\overbrace{\as}^{k-1~个})\\&\leqslant[k+(k+1)+\cdots+(2k-2)]-[1+2+\cdots+(k-1)]\\&+[(k+1)+(k+2)+\cdots+(2k-1)]-[1+2+\cdots+(k-1)]\\&=2k^2-3k+1\end{aligned}\]
$[f(x)_{\min}]_{max}=\dfrac{2k^2-3k+1}{2k-2}=\dfrac{2k-1}2=\dfrac n2$