[不等式] 转人教二元不等式

设$x>0,y>0$，且$(\sqrt{1+x^2}+x-1)(\sqrt{1+y^2}+y-1)\leqslant2$，则$(xy)_{\max}=$
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好弱，该从不等式还是函数方向入手， 一点头绪都没有……

你抄错题了，原贴右边是2。

PS、跟《数学空间》总第 11 期 P16 例 3.2.3 类似，你看看哪个方法能延用。

3# kuing
赶快修改，去看看！
看了，函数思想、代数变形……看得我面红耳赤 一时还没消化，再想想……

4# 李斌斌755

转化一下呗…
只要证明
\[f(x)=\ln\frac{\sqrt{e^{2x}+1}+e^x-1}{\sqrt2}\]
是单增奇函数即可

5# kuing
对我来说很难了，我连是用函数还是代数变形还没整明白，何况后面还连着两个高难度转换$e^x,\ln$

6# 李斌斌755

为了转化为3楼说的那个题的形式，对所求的那个式子取对数，然后换个元，就成那样子了。

爪机先不说太多了，晚点电脑上再打过程。

我试写写过程，当学习LaTeX
\[(\sqrt{1+x^2}+x-1)(\sqrt{1+y^2}+y-1)\leqslant2\iff\\(\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x-1)}{\sqrt2}\dfrac{(\sqrt{1+y^2}+y-1)}{\sqrt2}\leqslant1\\\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x-1}{\sqrt2}+\ln\dfrac{\sqrt{1+y^2}+y-1}{\sqrt2}\leqslant0\]
令$x=e^{t_1},y=e^{t_2}$，上式为\[\ln\dfrac{\sqrt{1+e^{2t_1}}+e^{t_1}-1}{\sqrt2}+\ln\dfrac{\sqrt{1+e^{2t_2}}+e^{t_2}-1}{\sqrt2}\leqslant0\]
设$f(t)=\ln\dfrac{\sqrt{1+e^{2t}}+e^t-1}{\sqrt2}$，有\[f(-t)=\ln\dfrac{\sqrt{1+\frac1{e^{2t}}}+\frac1{e^t}-1}{\sqrt2}=\cdots\]
不知路子对不对，到这走不动……唉怎么证明奇偶性、单调性全忘了

设$x>0,y>0$，且$(\sqrt{1+x^2}+x-1)(\sqrt{1+y^2}+y-1)\leqslant2$，则$(xy)_{\max}=$
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李斌斌755 发表于 2013-5-18 00:05

要求 $(xy)_{\max}$，只要求 $(\ln x+\ln y)_{\max}$，令 $\ln x=a$, $\ln y=b$，代入原等式即变为在条件
\[\bigl(\sqrt{1+e^{2a}}+e^a-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+e^{2b}}+e^b-1\bigr)\leqslant2\]
下，求 $(a+b)_{\max}$。

令
\[f(x)=\ln\frac{\sqrt{e^{2x}+1}+e^x-1}{\sqrt2},\]
条件又可以变为 $f(a)+f(b)\leqslant0$，于是如果证得 $f(x)$ 为严格递增的奇函数，那么就可以得到 $a+b\leqslant0$，从而搞定。

事实上，$f(x)$ 严格递增是显然的，而
\begin{align*}
f(x)+f(-x)&=\ln \frac{\bigl(\sqrt{e^{2x}+1}+e^x-1\bigr)\bigl(\sqrt{e^{-2x}+1}+e^{-x}-1\bigr)}2 \\
& =\ln \frac{\bigl(\sqrt{e^{2x}+1}+e^x-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+e^{2x}}+1-e^x\bigr)}{2e^x} \\
& =\ln \frac{e^{2x}+1-(e^x-1)^2}{2e^x} \\
& =0.
\end{align*}

上面是沿用了那里所说的辅助函数，而单纯用代数变形的话还不知怎么弄，然而代数变形+辅助函数倒是可以，还更简单些。
对 $\bigl(\sqrt{1+x^2}+x-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+y^2}+y-1\bigr)\leqslant2$ 两边乘以 $\sqrt{1+x^2}-x+1$ 有理化后变为
\[x\bigl(\sqrt{1+y^2}+y-1\bigr)\leqslant\sqrt{1+x^2}-x+1,\]
或
\[\sqrt{1+y^2}+y-1\leqslant\sqrt{\frac1{x^2}+1}-1+\frac1x,\]
令 $g(x)=\sqrt{1+x^2}+x-1$，则上式又写成
\[g(y)\leqslant g\left(\frac1x\right),\]
显然 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，故 $y\leqslant1/x$，即 $xy\leqslant1$。

9# kuing
被我弄复杂了  ，基础不扎实，数学理解能力弱
好笨，要求$a=-b$，非要把$a$硬生生变出$b$，不会证明$a+b=0$

有几何意义吗？

10# kuing
高考题中见过这种应用，即由单调函数值域的大小判断自变量大小，不能活学活用啊