[函数] 方程系数问题

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2013-5-16 10:54

______kuing edit in $\LaTeX$______
5、（2011 北大）已知函数 $f(x)=x^2+px+q$，且 $f(f(x))=0$ 仅有一个实根，求证：$p\geqslant 0$, $q\geqslant 0$。

这题重根算几个？

2# hejoseph
还真不知道？

据求证结果，当p，q同为零时来看，这题重根只算一个

自主招生？保送生测试？
有没有答案或链接啊？

嗯，求原卷确认……
“只有一个实数根”和“只有一个实数解”是不同的……
按道理，2重根算2个根。

群里看到转的,
百度了下,http://www.docin.com/p-194795922.html

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2013-5-16 13:53

如果是按“只有一个实数解”来算，也就是说重根只算一个解的话，其实好像也不难吧，就是 $f(x)$ 的最小值等于 $f(x)$ 的较大根，即
\[\frac{4q-p^2}4=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}2,\]
若 $q<0$，则右边为正，而左边为负，矛盾；另一方面，变形得
\[p=\sqrt{p^2-4q}+\frac{p^2-4q}2\geqslant 0,\]
得证。

根据虚根成对，偶次多项式不可能只有一个实数根

题目有许多叙述问题，例如$p$、$q$就是实数了？

10# hejoseph

的确这也是个问题……
命题的应该尽可能避免这些问题，多说明一句又不费力……

高中教材没代数基本定理，重根也只是在初中教2次方程时涉及，猜是绝大多数 老师不会推广到一般的重根概念，于学生应该不会误会.
改成解集中有且只有一个实数当然更严密.

能不能找到2个$p>0,q>0$的例子，并且该方程只有唯一的一个实数解？

13# yes94

从 8# 的方程里找就可以了呗，比如说 $p=4$, $q=3$；$p=3/2$, $q=5/16$；等等……