[不等式] 编个简单的

设$a,b,c>0$且有$ab+bc+ca+abc=4$证明
\[ \sqrt[2013]{a+2}+\sqrt[2013]{b+2}+\sqrt[2013]{c+2}\geq 3^{\frac{2014}{2013}}\]

这种条件的，貌似和三角有点关系，也可能没关系，说是简单，还是不会证啊.  楼主贴出看.
或证明一般情况：$ \sqrt[n]{a+2}+\sqrt[n]{b+2}+\sqrt[n]{c+2}\geq 3^{\frac{n+1}{n}}.$

1# pxchg1200
跟一个相同条件的：
设$a,b,c>0$,且有$ab+bc+ca+abc=4,$试证
$$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\geqslant3. $$

2013随意装上的？换上n没问题？

4# 零定义
只是我的猜测呢，还不知咋证,不过我跟那个可以证（想用均值“秒”应该不行滴）.

3# reny


注意到条件就是
$$ \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1 $$
AM-GM后
\[ a+b+c\geq 3 \]
而由Holder
\[ \left(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab}\right)(a+b+c)^2\geq (a+b+c)^3 \]
结论显然.

2# reny


很高兴有人弄的我的不等式。哈哈

6# pxchg1200
你的题我们怎作，你扛的武器（用的公式）我们见都没见过

6# pxchg1200

3#那个不用变形也显然能看出a+b+c>=3...

2# reny
ouch!根据你证我跟那个题，提示我可以这样做：
注意到恒等式$\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1$(知道她的存在，没想到要用它)
由于$f(x)=x^{-\dfrac1{n}},x\in(0,1)$是凸函数，
所以$\sqrt[n]{a+2}+\sqrt[n]{b+2}+\sqrt[n]{c+2}\geqslant3\left(\dfrac1 3 \sum{\dfrac1{a+2}}\right)^{-\frac1{n}}=3^{\dfrac{n+1}{n}}.$

在相同条件下，再跟三道证明：
$(1)\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant\sqrt[4]{ab}+\sqrt[4]{bc}+\sqrt[4]{ca};$（改正）
$(2)(2a-bc)(2b-ca)(2c-ab)\geqslant a^2b^2c^2;$
$(3)\abs{a-b}+\abs{a-c}\geqslant\abs{bc-1}+(1-a)(1-b)(1-c).$
欢迎解答啊！

怎么木有人顶起啊

12# reny


做不来。

11# reny
先看(1):
令$a=\dfrac{yz}{x},b=\dfrac{xz}{y},a=\dfrac{xy}{z},$则已知条件变为$x^2+y^2+z^2+xyz=4,$
欲证式$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant\sqrt[4]{ab}+\sqrt[4]{bc}+\sqrt[4]{ca}\iff x+y+z\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.$
结合恒等式$\dfrac{x}{2x+yz}+\dfrac{y}{2y+zx}+\dfrac{z}{2z+xy}=1$(和条件等价),
由柯西，$\sum_{cyc}{\dfrac{x}{2x+yz}}.\sum_{cyc}{(2x+yz)}\geqslant\left(\sum_{cyc}{\sqrt{x}}\right)^2$,
i.e,$2(x+y+z)+xy+yz+zx\geqslant\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2.(*)$
由AMO2001结论——$xy+yz+zx\leqslant 2+xyz$及条件$x^2+y^2+z^2+xyz=4,$有$\left(x+y+z\right)^2\geqslant2(x+y+z)+xy+yz+zx(**).$
由$(*)和(**)$知，不等式得证.