[几何] 又是人教群wwd的解几问题

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2013-5-14 18:08

问题：$y=x^2$ 上，$P$ 为动点，求垂直于过 $P$ 的切线的弦 $PQ$ 的最小值。

这个用解析法应该不难，但是 wwd 说

教师-wwdwwd117(2365*****)  17:45:39
我其实猜出了结果，就是当PQ过（0,2p)时
教师-wwdwwd117(2365*****)  17:46:19
就是证明不出
教师-wwdwwd117(2365*****)  17:47:43
也就是PO垂直于QO时

[中间省略一段]

教师-wwdwwd117(2365*****)  18:04:04
不过呢，看到那么好的几何结论，就想有没有好的几何方法。

我也希望看到几何法，故先转上来。

先上个图。
$FO=\dfrac12,FO\perp$直线$l$,$M,N$是直线$l$上的两个动点，$PM\sslash OF\sslash QN$，$PC,QD$分别是$MF,NF$的垂直平分线。当$PQ\sslash CF$时，求$PQ$的最小值。

2# 李斌斌755
不好弄，两个动点

2# 李斌斌755
$OF$的中点（原点）使不上劲？

多么美妙的结论啊

如果这是真的，那么其他圆锥曲线亦有类似性质

发现“PQ的最小值”等价于“PF+FN的最小值”...如果能证明的话，相信会简单很多...

7# 零定义
$P,F,N$成一条直线，也不好证明啊！

8# 李斌斌755
确实，感觉我有bào力倾向...

$FO=OE=\dfrac12,FO\perp$直线$l$,$M,N$是直线$l$上的两个动点，$PM\sslash OF\sslash QN,PM=PF,QN=QF,PH\perp QN$，求$PQ$的最小值。
设$MO=a,NO=b$，\[\left.\begin{aligned}\triangle PMF\sim\triangle MEF\\\triangle PNF\sim\triangle NEF\end{aligned}\right\}\riff\left\{\begin{aligned}\dfrac{PM}{MF}=\dfrac{MF}{EF}\\\dfrac{PN}{NF}=\dfrac{NF}{EF}\end{aligned}\right.\riff \left\{\begin{aligned}PM=MF^2=a^2+\dfrac14\\PN=NF^2=b^2+\dfrac14\end{aligned}\right.\\\triangle MOF\sim\triangle PHQ\riff\dfrac{MO}{OF}=\dfrac{PH}{HQ}=\dfrac{a}{\frac12}=\dfrac{b+a}{b^2-a^2}\riff b=a+\dfrac1{2a}\\PQ^2=PH^2+HQ^2=(a+b)^2+(b^2-a^2)^2\\=3a^2+\dfrac3{4a^2}+\dfrac{a^2}2+\dfrac{a^2}2+\dfrac1{16a^4}+3\geqslant3+\dfrac34+3=6\dfrac34\\\riff PQ\geqslant\dfrac{3\sqrt3}2\]
取等条件$a=\dfrac{\sqrt2}2$

10# 李斌斌755
确实过$(0,2p)$点，但与原点……

10# 李斌斌755
牛笔！！！不过类似最后结果...

12# 零定义
答案是多少？

10# 李斌斌755
牛笔！！！昨晚我也类似这样算，可没找到a与b的关系，算不出来...
最后，弱弱的说一个，最后结果...
发现PQ取得最小值时，有很多性质啊，比如：P、F、N三点共线，∠POQ=90°...

13# 李斌斌755
杂么今天论坛卡卡D...你算错数了，答案应该是3√3/2吧...

15# 零定义
谢谢！是算错了$\sqrt{\dfrac{27}4}=\dfrac{3\sqrt3}2$，已修改。

10# 李斌斌755
几何控！
没仔细看，你画的什么啊？

17# yes94
好久不见，抛物线呀

又来试试用速度来看此题。

我们不妨假设 $P$ 在抛物线的右半边上，并且让它在高处沿着抛物线以恒定速率 $v_P$ 下滑，由此引起左边的点 $Q$ 也有一个速率 $v_Q$，如图所示。

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2013-5-16 17:08

由于 $P$ 的速度对于 $l$ 来说始终垂直，而 $Q$ 的速度显然不会与 $l$ 垂直，于是对于 $\abs{PQ}$ 来说，它是在增加还是减少，完全取决于 $Q$ 点的速度方向，即，如果 $Q$ 在下滑，那么 $\abs{PQ}$ 在减少（就像图中显示的那样），如果 $Q$ 在上滑（会的）则 $\abs{PQ}$ 在增加，由此可见，如果 $\abs{PQ}$ 存在最小值，则必然在 $v_Q=0$ 时取得。

而 $v_Q=0$ 的那一刻，我们又可以看成 $P$ 绕 $Q$ 作匀速圆周运动，$\abs{PQ}$ 为其半径，这说明，当 $v_Q=0$ 时，抛物线在 $P$ 处的曲率圆（密切圆）的圆心就是 $Q$。



然后似乎也没什么妙法整下去，如果用曲率圆的相关公式，那又变回代数了（虽然只是要解一个方程而已），咳，待续着先……

这题和论坛上南通的那题类似，提供一种通法

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2013-5-29 17:53