论坛元老

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1^#

发表于 2013-5-13 16:37

[数列] 这种数列形式多元和式的最值有何好的切入点

本帖最后由 isea 于 2013-5-13 16:44 编辑

求助，主要是第（2）问，这种多元的和式最值，经常在高三模拟试卷中出现。

偶基本按答案“宣科”(直接发答案，自学），觉得实在是郁闷啊，请教。

如下实例(答案反白，一般浏览器，全选即可见答案)：

题：已知实数$x_1,x_2,\cdots,x_n(n\ge 2,n\in N)$满足$|x_i|\le1$，

记$\displaystyle S(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j~~(i,j\in N)$．

（1）求$S(-1,1,-\dfrac23)$及$S(1,1,-1,-1)$的值；key:$-1;-2$

（2）当$n=3$时，求$s(x_1,x_2,x_3)$的最小值(PS：上界3？)；key:$-1$

（3）求$S(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的最小值．key:$n$为偶数时，$-\dfrac n2$，奇数时$-\dfrac{n-1}2$

数学公式终极编辑器：Aurora，基于LaTeX；
$\LaTeX$，若习惯命令一定顺手

kuing

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2^#

发表于 2013-5-14 00:54

很早很早以前就见过类似的题哩，我还记得是在最早期的数学驿站论坛里解的，考虑完全平方。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

李斌斌755

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3^#

发表于 2013-5-14 00:58

刚才一阵好想，无果

李斌斌755

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4^#

发表于 2013-5-14 01:12

与这类，遇到就晕……
http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... p;extra=&page=1

kuing

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5^#

发表于 2013-5-14 01:17

\[\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j\]

李斌斌755

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6^#

发表于 2013-5-14 01:59

5# kuing
唉……

isea

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7^#

发表于 2013-5-14 08:25

\[\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{1\le i
kuing 发表于 2013-5-14 01:17

直接被秒了，此式一出

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yes94

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8^#

发表于 2013-5-15 23:38

7# isea
怎么秒啊？
朝阳

kuing

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9^#

发表于 2013-5-15 23:51

首先由于每个元相互独立而且 $S$ 对每个元均为线性，故由 $\abs{x_i}\leqslant1$ 知只需考虑 $x_i\in\{-1,1\}$ 时，此时
\[\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j=n+2\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j.\]

当 $n$ 为偶数时，$\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2$ 最小可取到 $0$，故 $\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j$ 的最小值为 $-n/2$；

当 $n$ 为奇数时，$\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2$ 最小可取到 $1$，故 $\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j$ 的最小值为 $(1-n)/2$。