[不等式] 昨天晚上天书在kuing粉丝群里发的一个不等式
本帖最后由 pxchg1200 于 2013-5-12 13:19 编辑
设$a,b,c\geq 0$,$a+b+c=ab+bc+ca$,证明
\[ \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{4}{3}\]
其实这个题目就是出题的人玩了点花样，让我们来揭开它神秘的面纱.
证明:kuing 首先注意到取等条件是$a=b=2,c\rightarrow+\infty$，为了摆脱这个$+\infty$,设
\[x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\]
这样，仍然有$x+y+z=xy+yz+xz$,而不等式变成
\[ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{4}{3} \]
展开并利用条件，得到
\[ xy+yz+xz+xyz\geq 4 \]
而我们有熟悉恒等式
\[ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=1 \]
上面的恒等式就是
\[ xy+yz+xz+xyz=4 \]
于是，根据这个思路，我们可以把不等式变成
\[ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq 1\]
就是
\[ \frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1 \]
到这里，不Cauchy-Schwarz还真说不过去。直接
\[ \sum{\frac{x}{x+2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum{x^2}+2\sum{x}}=\frac{(x+y+z)^2}{\sum{x^2}+2\sum{xy}}=1 \]
Done!
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发表于 2013-5-12 12:52
发表于 2013-5-12 13:47
