试一试

求方程sinnx=cosx在[0,π]内解的个数。

数形结合。

2# 李斌斌755

看图容易证明难……
\[f(n)=2\left\lfloor\frac n2\right\rfloor+1\]

3# kuing
我不会证明。

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2013-5-13 18:31

k神说“如果能说明两个“或”的情况不会产生重复，那就更完美些"
那在此随意的补上个说明吧...

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2013-5-13 19:04

5# 零定义

前半没问题，后面有中括号开始还没仔细检验……
话说那里开始你是不是为了凑成我那个式子而故意整成中括号的啊？

7# kuing
第一：k本身就是整数；
第二：后面的那个式子觉得不够你的简洁，所以就用你那个了.我证明了的，只是人懒，没在这写...

8# 零定义

原来如此

9# kuing
好吧~再补充这个证明...

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2013-5-13 21:16

中括号表示取整吗？

11# 李斌斌755

一般来说是的，不过我更习惯用 $\lfloor x \rfloor$ ，因为它能与向上取整 $\lceil x \rceil$ 形成鲜明对比。

@kuing
如果将sinnx换成tannx，根的个数很容易知道，但能不能算出它的所有根呢？再如果，tan、sin、cos这三个函数随意换呢？

求方程sinnx=cosx在[0,π]内解的个数。
wzxsjz 发表于 2013-5-12 10:54

开头可以这样做啊？
\[\begin{array}{l}
\sin nx = \cos x \\
\Leftrightarrow \sin nx = \sin (x + \frac{\pi }{2})\\ \Leftrightarrow nx = 2k\pi  + (x + \frac{\pi }{2}),或nx = 2k\pi  + \pi  - (x + \frac{\pi }{2})\\
\Leftrightarrow (n - 1)x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2},或(n + 1)x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2}
\end{array}\]
以下同5楼

14# yes94
开头还可以积化和差来做：
\[\begin{array}{l}
\sin nx = \cos x \\
\Leftrightarrow \sin nx + \sin (x - \frac{\pi }{2}) = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{nx + x - \dfrac{\pi }{2}}}{2}\cos \frac{{nx - x + \dfrac{\pi }{2}}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow \sin \dfrac{{nx + x - \dfrac{\pi }{2}}}{2} = 0，或\cos \frac{{nx - x + \dfrac{\pi }{2}}}{2} = 0 \\
\Leftrightarrow \dfrac{{nx + x - \dfrac{\pi }{2}}}{2} = k\pi ,或\frac{{nx - x + \dfrac{\pi }{2}}}{2} = k\pi  + \dfrac{\pi }{2}\\
\Leftrightarrow (n + 1)x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2},或(n - 1)x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2}
\end{array}\]
以下同5楼