[几何] 非角度 求面积 卡了

如下图，想整个外接圆来，结果无果，大家看看，有无好办法。

主要想解决第二问，简短有意思。

看着像是那种旋转题……你旋转过没？

2# kuing


旋转+相似与作外接圆似乎是同一条路，不太好整

供参考：

4# 0.1


原来真是这么奇怪的数字啊！

感谢感谢。

第二问用勾股定理建立方程组也容易的，且能解决任意知道直角三角形的边长比和$PA$、$PB$、$PC$长度求直角三角形的边长的问题。

建立方程组
\[
\left\{
\begin{aligned}
x^2+y^2&=1 \text{，} \\
(\sqrt 3b-x)^2+y^2&=10 \text{，} \\
(b-y)^2+x^2&=2 \text{。}
\end{aligned}
\right.
\]

$(\sqrt 3b-x)^2+y^2=10$展开并利用$x^2+y^2=1$，得
\[
3b^2-2\sqrt 3bx=9 \text{，}
\]
求得
\[
x=\frac{3b^2-9}{2\sqrt 3b} \text{，}
\]
由此可得$b>\sqrt 3$。

$(b-y)^2+x^2=2$展开并利用$x^2+y^2=1$，得
\[
b^2-2by=1 \text{，}
\]
求得
\[
y=\frac{b^2-1}{2b} \text{。}
\]

把上述求得的$x$、$y$的式子代入$x^2+y^2=1$，得
\[
\left(\frac{3b^2-9}{2\sqrt 3b}\right)^2+\left(\frac{b^2-1}{2b}\right)^2=1 \text{，}
\]
整理得
\[
b^4-6b^2+7=0 \text{，}
\]
解上面的方程得
\[
b=\sqrt{3\pm\sqrt{2}} \text{，}
\]
但$b=\sqrt{3-\sqrt{2}}$不满足$b>\sqrt 3$，所以只能$b=\sqrt{3+\sqrt{2}}$。

这题做不来，贴标答

7# 李斌斌755
特殊直角三角形的个翻折问题+海伦公式（$a,b,c$值随意）
而这题的数字根据直角$\triangle ABC,\angle ACB=90^\circ$构建出来的$b=\sqrt{10},a=1\riff c=\sqrt2$

我以前做过，就是那个对称的方法

这份模拟卷真是变态

令$\angle ACP=\theta$，则
\begin{align*}
\cos\theta&=\frac{AC^2+PC^2-PA^2}{2\cdot AC\cdot PC}=\frac{b^2-1}{2b} \text{，} \\
\sin\theta&=\frac{BC^2+PC^2-PB^2}{2\cdot BC\cdot PC}=\frac{3b^2-9}{2\sqrt 3b} \text{，}
\end{align*}
由$\sin\theta>0$得$b>\sqrt 3$，再由$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$得
\[
b^4-6b^2+7=0\text{，}
\]
后面的跟我上面发的相同了，这个方法对非直角三角形同样适用。

下面的是很一般的三角形的例子：

设$P$是$\triangle ABC$内一点，$AB:AC:BC=4:5:6$，$PA=1$，$PB=2$，$PC=3$，求$\triangle ABC$的面积。

设$AB=4t$，$AC=5t$，$BC=6t$，则
\begin{align*}
\cos\angle ACB &= \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{3}{4}\text{，}\\
\sin\angle ACB &= \sqrt{1-\cos^2\angle ACB}=\frac{\sqrt 7}{4}\text{，}
\end{align*}
由此得
\[
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin\angle ACB=\frac{15}{4}\sqrt 7t^2\text{。}
\]

设$\angle BPC=\theta$，则
\begin{align*}
& \cos\theta=\frac{BC^2+PC^2-PB^2}{2\cdot BC\cdot PC}=\frac{36t^2+5}{36t}\text{，}\\
& \cos(\angle ACB-\theta)=\frac{3}{4}\cos\theta+\frac{\sqrt 7}{4}\sin\theta=\frac{AC^2+PC^2-PA^2}{2\cdot AC\cdot PC}=\frac{20t^2+8}{30t}\text{。}
\end{align*}
由$\frac{3}{4}<\cos\theta<1$及$\frac{3}{4}<\cos(\angle ACB-\theta)<1$得$\frac{5}{12}<t<\frac{4}{5}$。由$\cos\theta=\frac{36t^2+5}{36t}$及$\frac{3}{4}\cos\theta+\frac{\sqrt 7}{4}\sin\theta=\frac{20t^2+8}{30t}$得
\[
\sin\theta=\frac{20t^2+39}{60\sqrt 7t}\text{，}
\]
由$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$得
\[
\left(\frac{20t^2+39}{60\sqrt 7t}\right)^2+\left(\frac{36t^2+5}{36t}\right)^2=1\text{，}
\]
整理得
\[
14400t^4-9360t^2+1129=0\text{，}
\]
解上面的方程，得
\[
t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{39\pm14\sqrt 2}{30}}\text{，}
\]
只有$t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{39+14\sqrt 2}{30}}$满足$\frac{5}{12}<t<\frac{4}{5}$，所以
\[
t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{39+14\sqrt 2}{30}}\text{，}
\]
所以
\[
S_{\triangle ABC}=\frac{15}{4}\sqrt 7t^2=\frac{39\sqrt 7+14\sqrt{14}}{32}\text{。}
\]

12# hejoseph
这个推广好！

这真是一道好题啊！

这种题几何做法常常是旋转变换，如果数据特殊，那么会构成特殊角
代数做法就是余弦定理吧