我又来了。征求这个不等式的各种证法。

今天看到这个不等式$$(\frac{n+1}{e})^n<n!<e(\frac{n+1}{e})^{n+1}$$
我尝试了下，有下面这个不漂亮的证法。
先证左边：令$$b_n=\frac{(n+1)^n}{e^n·n!}$$
则$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{e}$$
而$$a_n=(1+\frac{1}{n})^n单调递增且趋于e$$
所以$$\frac{b_{n+1}}{b_n}<1 \rightarrow b_n \leq b_1=\frac{2}{e}<1$$
再证左边：令$$x_n=\frac{(n+1)^{n+1}}{e^n·n!}$$
$$则\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+2)^{n+2}}{e(n+1)^{n+2}}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}}{e}$$
而$$ln(1+\frac{1}{n+1})>\frac{1}{n+2} \rightarrow (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}>e$$
即$$\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$$
从而$$x_n \geq x_1=\frac{4}{e}>1$$

感觉应该还有其他更好的方法。然后还感觉有一些不等式跟这个不等式有关联。。

1# Karron_


只要注意到
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\]
就好了，把上面的式子中的$n$从$1$累乘到$n$结论显然。