一致收敛

摘自梅加强的《数学分析》，316页14题。好像好难。。有没大神帮忙？

1# Karron_


这个问题也不难，我们先证一个等价的问题。
设$f_{n}(x)$在$[a,b]$上可导，且有$M>0$,使得
\[ |f'_{n}(x)|\leq M \qquad (n\in \mathbf{N},a\leq x\leq b) \]
若$f_{n}(x)$在$[a,b]$上逐点收敛于$f(x)$,则必一致收敛。
证明:对$\forall \varepsilon>0$,作$[a,b]$的分划
\[ \Delta:a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}=b,\qquad \text{分割细度$|\Delta|<\frac{\varepsilon}{3M}$}\]
则对于每个$x_{i}$,由于$f_{n}(x)$逐点收敛，故都存在一个对应的$N_{i},(i=0,1,2,\cdots,k)$,当$m,n>N_{i}$时有
\[ |f_{n}(x_{i})-f_{m}(x_{i})|<\frac{\varepsilon}{3}\]
这样，我们可以找到一个$N=\max\{N_{0},N_{1},\cdots,N_{k}\}$，对任意$n,m>N$有
\[  |f_{n}(x_{i})-f_{m}(x_{i})|<\frac{\varepsilon}{3},\qquad (i=0,1,\cdots,k)\]
现在对任意的$x\in[a,b]$,$x$必落入某个分割区间中，不妨设$x_{i}\leq x\leq x_{i+1}$,则当$n,m>N$时，有
\begin{align*}
|f_{n}(x)-f_{m}(x)|&\leq |f_{n}(x)-f_{n}(x_{i})|+|f_{n}(x_{i})-f_{m}(x_{i})|+|f_{m}(x_{i})-f_{m}(x)|\\
&\leq |f'_{n}(c_{1})||x-x_{i}|+|f_{n}(x_{i})-f_{m}(x_{i})|+|f'_{m}(c_{2})||x_{i}-x|\\
&\leq M\cdot\frac{\varepsilon}{3M}+\frac{\varepsilon}{3}+M\cdot\frac{\varepsilon}{3M}=\varepsilon
\end{align*}
故$f_{n}(x)\rightrightarrows f(x) $，现在用替换
\[ f_{n}(x)=S_{n}(x) \]
问题显然成立。

2# pxchg1200
你看我这样证问题出在哪？
作划分$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k=b，\vert \Delta \vert< \frac{\varepsilon}{3}$$
$$令F_{m,n}(x)=S_m(x)-S_n(x);m>n$$
由于$S_n(x)$可导，从而在$[a,b]$上一致连续。从而$F_{m,n}(x)$一致连续。
对于任意$x$必落在某个小区间上，不放设其落在$[x_{k-1},x_k]$
取$\delta= \frac{\varepsilon}{3}$,则当$\vert x'-x'' \vert <\delta $时,
$$\vert F_{m,n}(x')-F_{m,n}(x'') \vert<\frac{\varepsilon}{3}$$则
$$\vert F_{m,n}(x)-F_{m,n}(x_k) \vert<\frac{\varepsilon}{3}$$则
$$\frac{\varepsilon}{3}>\vert F_{m,n}(x)-F_{m,n}(x_k) \vert $$
$$=\vert S_m(x)-S_n(x)+S(x)-S_m(x_k)-S(x)+S_n(x_k) \vert$$
$$>\vert S_m(x)-S_n(x)\vert-\vert S_m(x_k)-S(x_k)\vert-\vert S(x_k)-S_n(x_k)\vert$$
由于$S_n(x)$点态收敛于$S(x)$,则当存在$N_k$,当$m>n>N_k$时有，
$$\vert S_m(x_k)-S(x_k)\vert<\frac{\varepsilon}{3} ；\vert S(x_k)-S_n(x_k)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$$
从而$$\vert S_m(x)-S_n(x)\vert<\varepsilon$$
现取$N=max{(N_1,N_2,\cdots,N_k)}$，则$m>n>N$ 时，均有$$\vert S_m(x)-S_n(x)\vert<\varepsilon$$
由Cauch收敛原理知$S_n(x)$一致收敛于$S(x)$

居然没用到导函数一致有界的条件。。。不知道问题出在哪？难道是这样做区间划分是不可行的？

3# Karron_

px 说 一致连续只能说明$\delta$ 存在，不一定跟$\varepsilon$相关。
这就是我证明的致命点了。

2# pxchg1200

这是我修改后的证法。

作划分$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k=b，\vert \Delta \vert< \frac{\varepsilon}{6M}$$
$$令F_{m,n}(x)=S_m(x)-S_n(x);m>n$$
则$$由\vert S'_n(x)\vert一致有界知\vert F'_{m,n}(x)\vert<2M$$
对于任意$x$必落在某个分划的区间上，不妨设其落在$[x_{k-1},x_k]$
$$\vert F_{m,n}(x)-F_{m,n}(x_k) \vert=\vert F’_{m,n}(\xi) \vert \vert x-x_k \vert<2M·\frac{\varepsilon}{6M}=\frac{\varepsilon}{3}$$则
$$\vert S_m(x)-S_n(x)\vert-\vert S_m(x_k)-S(x_k)\vert-\vert S(x_k)-S_n(x_k)\vert$$
$$<\vert S_m(x)-S_n(x)+S(x)-S_m(x_k)-S(x)+S_n(x_k) \vert$$
$$=\vert F_{m,n}(x)-F_{m,n}(x_k) \vert<\frac{\varepsilon}{3} $$
由于$S_n(x)$点态收敛于$S(x)$,则当存在$N_k$,当$m>n>N_k$时有，
$$\vert S_m(x_k)-S(x_k)\vert<\frac{\varepsilon}{3} ；\vert S(x_k)-S_n(x_k)\vert<\frac{\varepsilon}{3}$$
从而$$\vert S_m(x)-S_n(x)\vert<\frac{\varepsilon}{3}+\vert S_m(x_k)-S(x_k)\vert+\vert S(x_k)-S_n(x_k)\vert<\varepsilon$$
现取$N=max{(N_1,N_2,\cdots,N_k)}$，则$m>n>N$ 时，均有$$\vert S_m(x)-S_n(x)\vert<\varepsilon$$
由Cauch收敛原理知$S_n(x)$一致收敛于$S(x)$