[不等式] 又一道似曾相识的（from 幻）

少女幻 2013-5-8 11:49:27
下面这个怎么证明？
(b+c)^2/(a^2+bc)+(c+a)^2/(b^2+ca)+(a+b)^2/(c^2+ab)>=6
正数

题目：设 $a$, $b$, $c$ 为正数，求证
\[\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}+\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\geqslant6.\]

又是似曾相识，又是没翻到贴子……
可是这次自己证不出了，SOS的话易知等价于
\[\sum(a+b)(a+b-c)(ab+c^2)(a-b)^2\geqslant0,\]
然后也没整出来……
时间关系，你们先玩，或者给点链接，我明天再瞧瞧……

这个真心不认识

看不懂这种简写

晕~

2# isea

在不发生混淆的情况下通常约定 $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$。

1# kuing


由Cauchy-Schwarz,我们有
\[ \sum{\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}}=\sum{\frac{(b+c)^4}{(a^2+bc)(b+c)^2}}\geq \frac{\left(\sum{(a+b)^2} \right)^2}{\sum{(a^2+bc)(b+c)^2}}\]
以下略。

4# pxchg1200

原来是这样柯……我咋没想到哩……

5# kuing


这个还有额外的隐藏取等$a=b,c=0$所以由CYH技术，就是配那个啦。