[函数] 两函数上点,距离最小

浙江叶**(12***81) 14:54:11
请教一下这道题怎么解

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2013-5-8 14:59

______kuing edit in $\LaTeX$______
已知 $a>0$，$b>0$，$f_1(x)=\dfrac x{1+ax}$（$x<-\dfrac1a$），$f_2(x)=\dfrac x{1+bx}$（$x>-\dfrac1b$），$A$、$B$ 分别是 $f_1(x)$、$f_2(x)$ 的两点，求 $\abs{AB}$ 的最小值。

可能可以这么做,两点连线垂直这两点处的切线.好象计算有些...

还是表示不会~~`

感觉是同一函数$f(x)=\dfrac x{1+qx}$在不同区间的变化，$a,b$是等价关系……

或者换言之函数可以表示为\[f(x)=\begin{cases}\dfrac x{1+qx}& x<q=-\dfrac1{a}\\\dfrac x{1+qx}& x>q=-\dfrac1{b}\end{cases}\]

4# 李斌斌755

直觉告诉我并不是这样的。

奇怪，作图$B$点恒过原点，当$a\to\infty$时$A$点可无限接近原点，$|AB|\to0$
坐沙发

我也认为AB趋近于零

题目的意思不是a,b是给定的？

9# kuing


嗯，有道理，原来是要用$a,b$来表示这个长度，我让其中一个定下来了，另一个变化了

审题不细啊

10# isea

其实出题的应该尽量避免这些可能的误解发生，只要在前面加“给定”或者“常数”之类的词进去就能避免。

好复杂的图象.




还不如直接$a=1,b=2$特殊值看看，先

我觉得，这题要么是竞赛题中，要么是题中的一部分，这个相当复杂的感觉。

13# isea

我暂时没打算碰它

抛砖引玉，代数不会。$f_1(x)=\dfrac x{1+ax}$图像的渐近轴为$y=0,x=-\dfrac1a$，顶点坐标分别为$(-\dfrac2a,\dfrac2a),(0,0),x<-\dfrac1a$时是图像的左支，顶点坐标为$(-\dfrac2a,\dfrac2a)$
$f_1(x)=\dfrac x{1+bx}$图像的渐近轴为$y=0,x=-\dfrac1b$，顶点坐标分别为$(-\dfrac2b,\dfrac2b),(0,0),x>-\dfrac1b$时是图像的右支，顶点坐标为$(0,0)$
由图像知\[|AB|_{\min}=\dfrac{\sqrt8}a\]与$b$无关

12# isea
我的图像画错了？

16# 李斌斌755


我本是把分子分比除了x的，结果忘记把分子变成1

我画错了

楼主该公布答案了。

我不会，并怀疑有初等解，是群里看到转的，说是今年杭州高复的模拟卷中题目.

19# realnumber
高等解法呢？