[几何] 圆外一定点到该圆动直径的张角何时最大？

连云港-徐*(10*****96) 08:45:35
一个貌似简单的问题：圆外一定点到该圆动直径的张角何时最大？

先苯办法,再考虑有没好办法,圆不妨为圆心在(0,0)半径为1的圆,定点$P(a,0),a>1$,直径两端点$A(\cos x,\sin x),B(-\cos x,-\sin x)$,
那么AP,BP斜率为可得$k_1=\frac{\sin x}{\cos x-a},k_2=\frac{-\sin x}{-\cos x-a}$,
而$\tan{\angle APB}=\abs{\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}}=\abs{\frac{2a\sin x}{1-a^2}}$,可见$x=\frac{\pi}{2}$,$\angle APB$取最大.

设定点P，圆心C,直径端点M,N，用余弦定理计算角MPN的余弦，用到一个公式：PM^2+PN^2=2(PC^2+CM^2),结合基本不等式，可以证明PM=PN时张角最大

找到几何办法了，可以考虑与垂直时张角相等的点的轨迹，那么是个大圆，.....有调整法味道了

设定点P，圆心C,直径端点M,N，用余弦定理计算角MPN的余弦，用到一个公式：PM^2+PN^2=2(PC^2+CM^2),结合基本不等式，可以证明PM=PN时张角最大
三下五除二 发表于 2013-5-7 09:22

正解！

可以考虑直径不动，点动。

设$OP=a,\angle{POB}=\theta,\angle{APB}=\alpha,A(-1,0),B(1,0),P(a\cos\theta,a\sin\theta)$
\[\cos\alpha=\dfrac{(a\cos\theta+1)^2+(a\cos\theta-1)^2+2a^2\sin^2{\theta}-4}{2\sqrt{[(a\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta]\times[{(a\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta}]}}\]$=\cdots$

7# 李斌斌755
证明真烦 ，选择填空直接由图像得出完了

哪里需要这么麻烦，直接用圆周角就得了

表示没看懂何版的……

倒是想到另外一种方法，如图

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2013-5-8 01:07

设 $\odot O$ 的半径为 $R$，我们在 $PO$ 延长线上取一点 $Q$ 使得 $OQ\cdot OP=R^2$。
这样，根据圆幂定理，可知：
$A$、$P$、$B$、$Q$ 四点共圆，记其所共的圆为 $\odot O_1$，其直径为 $d_1$；
$C$、$P$、$D$、$Q$ 四点共圆，记其所共的圆为 $\odot O_2$，其直径为 $d_2$。
因为 $AB\perp PQ$，故 $PQ$ 为 $\odot O_1$ 的直径，而 $CD\not\perp PQ$，故 $PQ$ 不为 $\odot O_2$ 的直径，从而必有 $d_1=PQ<d_2$。
根据正弦定理，有
\begin{align*}
\sin\angle APB&=\frac{AB}{d_1},\\
\sin\angle CPD&=\frac{CD}{d_2},
\end{align*}
故由 $AB=CD$，$d_1<d_2$ 且由 $P$ 在 $\odot O$ 外可知 $\angle APB$、$\angle CPD$ 均为锐角，即可得到
\[\angle APB>\angle CPD.\]

10# kuing
9#已说。\[\angle BAC=\angle BDC>\angle BEC\]

11# 李斌斌755

噢，原来是延着7#说的，懂了……

10# kuing
弱弱问一下，何版是……

10# kuing
弱弱问一下，何版是……
李斌斌755 发表于 2013-5-8 09:57

9楼

好像是研究几何方面的

在LaTeX方面给偶不少帮助