反函数的二阶导数

设 $y=f(x)$ 的反函数存在，印象中其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数为 $\dfrac1{f'(x)}$，那二阶导数如何？今天碰到一问，才试着做了下。
这样？
\[
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2}=\frac{\mathrm{d}\bigl(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\bigr)}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}\bigl(\frac1{\mathrm{d}y/\mathrm{d}x}\bigr)}{\mathrm{d}x}\cdot\frac1{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\left(\frac1{f'(x)}\right)'\cdot\frac1{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^2}\cdot\frac1{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^3}.
\]
又或者或记反函数 $x=g(y)$，用复合函数求导，这样？
\begin{align*}
g''(y)&=\bigl(g'(y)\bigr)'=\left(\frac1{f'(x)}\right)'=\left(\frac1{f'\bigl(g(y)\bigr)}\right)'\\
&=-\frac1{\Bigl(f'\bigl(g(y)\bigr)\Bigr)^2}\cdot f''\bigl(g(y)\bigr)\cdot g'(y)=-\frac1{\bigl(f'(x)\bigr)^2}\cdot f''(x)\cdot \frac1{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^3}.
\end{align*}

1# kuing

还是用 dx, dy 写比较清楚，用 $'$ 这种写法得心里清楚，否则很容易搞错的说。。。

2# kuing