[数列] 昨天一个学弟问我的问题

设$\frac{|b_{n+1}|}{n^2}$,$\frac{|b_{n}|}{n}$,$1+b_{n}^{2}$成等比，且$b_{n}\neq 0$,记
\[ T_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^k(k+2)}{(k+1)^2}b_k}\]
证明
\[ T_{n}<\frac{5}{4}|b_1| \]

由于昨天晚上在和天书聊bat，所以没空思考，今天特地贴来论坛。

数列

玩数列不等式玩上隐了...

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2013-5-3 23:02

3# 零定义


多谢啦，睡神，最近我没状态。。。

px、kk你俩在轮休？这个感觉挺弱的，还可以再加强吧？

为输入方便,不妨设$b_n\in R^+$
$b_{n+1}=\frac{b_n^2}{1+b_n^2}\le \frac{1}{2}b_n$,而$\frac{k+2}{(k+1)^2}>\frac{k+3}{(k+2)^2}$,楼上的
$\frac{5}{9}$可以修改为$\frac{1}{2}$,
好粗心的我,把$b_2$看作了$b_1$,一直没完成.

“5/9改为1/2”这个这个看到的 了，我是想说将“(k+3)/(k+2)^2<(k+2)/(k+1)^2”再稍微的缩缩~
顺带的说一个，如果把b(n)看成正的，那么范围就会更小了...

额...经推导，1/2是最佳的了...

不会是最佳的,如果是$\frac{1}{2}$,那么$b_n=1,\forall n\in N$,但数列$\{ b_n \}$是递减的.
数列递缩的有些快.$n\ge2$时,$\abs{b_n}<1$,$n$足够大时,$b_{n+1}=\frac{b_n^2}{1+b_n^2}\approx b_n^2$