[不等式] px的一道次数有点高还好对称（from粉丝群）

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2013-5-2 22:13

a,b,c是正的

PX 表示这是个好东东，还说
Michael   22:05:12
Prove it
then I will tell you the story

那就写吧，先写成 pqr，就是
\[108r(p^2-2q)^3\leqslant p^6\bigl(p(p^2-3q)+4r\bigr),\]
或
\[4r\bigl((3p^2-6q)^3-p^6\bigr)\leqslant p^7(p^2-3q),\]
左边因式分解，然后约去非负的 $p^2-3q$，即只要证
\[8r(13p^4-42p^2q+36q^2)\leqslant p^7,\]
因为 $3rp\leqslant q^2$，故只要证
\[8q^2(13p^4-42p^2q+36q^2)\leqslant 3p^8,\]
令 $p^2/q=t$，则 $t\geqslant3$，要证的等价于
\[3t^4-8(13t^2-42t+36)\geqslant 0,\]
整理为
\[(t-3)^2(3t^2+18t-23)+36(t-3)+27\geqslant 0,\]
显然成立。

1# kuing


我来告诉你这个故事吧。

晚上想起Can的一个不等式
\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \]
首先怎么弄都弄不出。偶尔发现好像可以利用
\[ (x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz) \]
用
\[ x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a} \]
马上变成那个结论了。
我们就把一个轮换的变成了对称的。处理起来好多niao。。

2# pxchg1200

原来如此，完全明白……牛笔的转换……