请教一个积分

求一个积分
$\int e^{\sin x}\frac{x\cos^3 x-\sin x}{\cos^2 x} dx$
软件算的结果挺简单的$e^{\sin x}(x-\sec x)$
求教怎么算出来的。我想用分部积分和换元，但是肯定哪弄错了，分了几次都没弄出来。

1# abababa


$\displaystyle \int {\rm{e}}^{\sin x}\frac{x\cos^3x-\sin x}{\cos^2x}{\rm{d}}x=\int {\rm{e}}^{\sin x}x\cos x{\rm{d}}x-\int {\rm{e}}^{\sin x}\frac{\sin x}{\cos^2x}{\rm{d}}x\\
\displaystyle =\int x{\rm{d}}{\rm{e}}^{\sin x}-\int {\rm{e}}^{\sin x}{\rm{d}}\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\cdots$

以下分部积分法即可

2# hnsredfox_007


继续
$\displaystyle \int {\rm{e}}^{\sin x}\frac{x\cos^3x-\sin x}{\cos^2x}{\rm{d}}x=\int {\rm{e}}^{\sin x}x\cos x{\rm{d}}x-\int {\rm{e}}^{\sin x}\frac{\sin x}{\cos^2x}{\rm{d}}x\\
\displaystyle =\int x{\rm{d}}{\rm{e}}^{\sin x}-\int {\rm{e}}^{\sin x}{\rm{d}}\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\left(x{\rm{e}}^{\sin x}-\int {\rm{e}}^{\sin x}{\rm{d}}x\right)-\left[{\rm{e}}^{\sin x}\left(\frac{1}{\cos x}\right)-\int {\rm{e}}^{\sin x}{\rm{d}}x\right]
\\
=\cdots$

2# hnsredfox_007
谢谢，到这就明白了，把不能积的那个$\int e^{\sin x}dx$消掉了，这技巧对我来说目前还有难度，这是怎么想到的呢？

4# abababa


试着试着就出来了哦

5# hnsredfox_007
谢谢。 我也曾试过$e^{\sin x}x\cos x$这部分拆出来积，但是碰到$e^{\sin x}$积不出，就没往下做，以为这么拆不对，完全没想到能和后一项消掉。看我来还是弱。