[几何] 不是俄罗斯方块胜似俄罗斯方块

源代码

如图，$7\times 8$的矩形，中间5个大小一样的小正方形，组成的整体图形接于矩形。求小正方形的边长。



本帖楼下跟帖解法（非常精彩，不要错过）有纯几，有三角，有软件，其实也都不错，这里给出两兄弟 复数、向量法（写得很自由，随便喷）。









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题目：如图，$7\times 8$的矩形，中间5个大小一样的小正方形，组成的整体图形接于矩形。求小正方形的边长。


此法源自 江苏 朱丹 文章之 《在概念中发现方法》。


一种解答（写得很自由，随便喷）：如图，建直角坐标系$xOy$.

设$\vv {AB}=a+b \mathrm{i},a,b\in \mathbb{R}$，则
\begin{align*}
\vv {AD}&=\vv {AB}+\vv {BD}\\
&=(a+b\mathrm{i})+3(a+b\mathrm{i})(-\mathrm{i})\\
&=a+3b+(-3a+b)\mathrm{i}\\
\vv {EC}&=3(a+b\mathrm{i})+2(a+b\mathrm{i})(+\mathrm{i})\\
&=3a-2b+(2a+3b)\mathrm{i}
\end{align*}

由$7\times8$的矩形，及向量坐标意义有

$$\left\{\begin{aligned}
&a+3b=7\\
&2a+3b=8
\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}
&a=1\\
&b=2
\end{aligned}\right.$$

进一步，知小正方形边长$=|\vv {AB}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.

貌似有道类似的高考题还是什么题……在人教论坛和群都见过的……

2# kuing


的确有，但是，我觉得这题难度可能大些，如果方法不当，只是如果，假设，不代表事实，个人观点

好玩，试试！

$AB=BC=CD=EF=GH=x,3x=2x+1\riff x=1\riff CG=5\riff a=\dfrac{5\sqrt3}3$

5# 李斌斌755
应该$a=\sqrt5$

5# 李斌斌755

$AB=BC=CD=EF=GH=x,3x=2x+1\riff x=1\riff CG=5\riff a=\dfrac{5\sqrt3}3$
李斌斌755 发表于 2013-4-30 02:44

那些线段相等吗？
我觉得不是，那些可不是垂直的

结果确实是$\sqrt{5}$，不过我是列方程后用软件算的，列了三个元，软件解出来6个结果，就一个正的是$\sqrt{5}$，繁琐。

8# abababa
怎么列的？

没翻到以前讨论的贴子，做了一下其实还是挺简单的啊

(14.31 KB)

2013-4-30 16:35

易见
\[\left\{\begin{aligned}
\sqrt{2^2+3^2}x\sin \left( \theta +\arctan \frac32 \right)&=8, \\
\sqrt{1^2+3^2}x\sin \left( \theta +\arctan \frac31 \right)&=7,
\end{aligned}\right.\]
展开就是
\[\left\{\begin{aligned}
x(2\sin \theta +3\cos \theta )&=8, \\
x(\sin \theta +3\cos \theta )&=7,
\end{aligned}\right.\]
减减便是
\[\left\{\begin{aligned}
x\sin \theta &=1, \\
x\cos \theta &=2,
\end{aligned}\right.\]
于是显然
\[x=\sqrt5,\]
而且还能知道倾斜角 $\theta=\arctan(1/2)$，这样所有的点的坐标就不难得到了。

7# kuing
哪位来证明

楼主该公布解答了

10# kuing

补充说明一下，当 $y>0$ 时
\begin{align*}
\sin \left( \arctan \frac xy \right)&=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}, \\
\cos \left( \arctan \frac xy \right)&=\frac y{\sqrt{x^2+y^2}},  
\end{align*}
所以10#那个方程组展开的时候刚好根号都没掉了。

而我更怀疑会有更加直接的方式去说明展开后的方程组。

再上图

13# kuing
“而我更怀疑会有更加直接的方式去说明展开后的方程组。”
我也觉得，所以，要求IC给答案。否则我就要给答案了

...
而我更怀疑会有更加直接的方式去说明展开后的方程组。
kuing 发表于 2013-4-30 17:02

的确如此：

(16.05 KB)

2013-4-30 17:16

这样就直接得到
\[\left\{\begin{aligned}
x(2\sin \theta +3\cos \theta )&=8, \\
x(\sin \theta +3\cos \theta )&=7.
\end{aligned}\right.\]

14# 李斌斌755

哦，原来那些线的确是垂直的，看来原图还是有挺大的误差……我竟然被受了误差的影响又弱了……

17# kuing


还需要证明啊！

18# 李斌斌755

详细证明就交给你了……我有我那个方法就满足了，而且改一下数据或里面的图形应该还能用……

PS、标题是不是打错了字

19# kuing
不证明平行，我作平行
易证蓝色矩形为边长为$9$的正方形\[PQ=1,\dfrac{OQ}{OP}=\dfrac{OM}{ON}\riff OQ=2\riff PN=6\riff ON^2=45\riff OG=\sqrt5\]