[不等式] 一道不等式

想好久，不知道怎么做，求教各位！

______kuing edit in $\LaTeX$______
$a$, $b$, $c\in\mbb R^+$, $a^2+b^2+c^2=3$，证明
\[\frac1{1+a^2b^2}+\frac1{1+b^2c^2}+\frac1{1+c^2a^2}\geqslant\frac9{2(a+b+c)}.\]

1# huamahu


没人做？ 我来弄下吧。
证明： 首先用3减去两边，不等式等价于
\[ \frac{a^{2}b^{2}}{1+a^2b^2}+\frac{b^{2}c^{2}}{1+b^2c^2}+\frac{c^{2}a^{2}}{1+c^2a^2}\leq 3-\frac{9}{2(a+b+c)} \]
而
\[  \frac{a^{2}b^{2}}{1+a^2b^2}\leq \frac{ab}{2}\]
故只要证明
\[6(a+b+c)\geq 9+(a+b+c)(ab+bc+ca) \]
设$p=a+b+c,q=ab+bc+ca$
\[ p^2-2q=3 \]
不等式变成
\[ f(p)=p^3-15p+18\leq 0\]
注意到$p$的范围是
\[ (\sqrt{3},3] \]
很容易验证那个结论了。
Done。

谢谢PX