[数列] $a_{n + 1}= \frac12(a_n +\frac1{a_n})$

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2013-4-28 22:24

reny

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2^#

发表于 2013-4-28 22:50

(1)当$n\geqslant2,a_n\geqslant1.$
易得$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=\left(\frac{a_{n}+1}{a_{n}-1}\right)^2.$

kuing

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3^#

发表于 2013-4-28 23:15

2# reny

这种题估计不用求通项……

PS、楼主一下子贴了几道数列，Tesla35 又有得 mark 了

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

reny

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4^#

发表于 2013-4-28 23:35

人教群里数列题也挺多滴

地狱的死灵

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5^#

发表于 2013-4-29 01:36

$a_n \ge 1$
$a_{n + 1}  - 1 = \frac{1}{2}(a_n  - 1) + \frac{1}{2}(\frac{1}{a_n} - 1) \le \frac{1}{2}(a_n  - 1)$

$a_2  - 1 = \frac{1}{12} < \frac{1}{2^3 }$

递推得 $a_n  - 1 < \frac{1}{2^{n + 1}}(n \ge 2)$

所以$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i }}{{a_{i + 1} }}}  \le \sum\limits_{i = 1}^n {a_i }  < \frac{3}{2} + \sum\limits_{i = 2}^n {(1 + \frac{1}{2^{i + 1} }} ) < n + 1$

Tesla35

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6^#

发表于 2013-4-30 17:29

马克too

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