[不等式] $\sum {\dfrac{1}{{{a^2} + ab}} \geqslant \dfrac{2}{{\sqrt {abcd} }}} $

\[\sum {\frac{1}{{{a^2} + ab}} \geqslant \frac{2}{{\sqrt {abcd} }}} \]

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2013-4-28 22:07

总觉得以前做过，不过一时没翻到……
还好重新做下也不是很难。

由齐次性，不妨设 $abcd=1$，由此我们可以令 $a=y/x$, $b=z/y$, $c=w/z$, $d=x/w$, $x$, $y$, $z$, $w>0$，则原不等式等价于
\[\frac{x^2}{y^2+zx}+\frac{y^2}{z^2+wy}+\frac{z^2}{w^2+xz}+\frac{w^2}{x^2+yw}\geqslant2,\]
由柯西不等式及均值不等式有
\begin{align*}
&\frac{x^2}{y^2+zx}+\frac{y^2}{z^2+wy}+\frac{z^2}{w^2+xz}+\frac{w^2}{x^2+yw}\\
\geqslant{}& \frac{(x^2+y^2+z^2+w^2)^2}{x^2(y^2+zx)+y^2(z^2+wy)+z^2(w^2+xz)+w^2(x^2+yw)}\\
={}& \frac{(x^2+z^2)^2+(y^2+w^2)^2+2(x^2+z^2)(y^2+w^2)}{xz(x^2+z^2)+yw(y^2+w^2)+(x^2+z^2)(y^2+w^2)}\\
\geqslant{}&2.
\end{align*}

翻到我印象中想到的东东了，原来不是同一个题，不过有点相似之处，而且我用的方法也一样。