[不等式] 不等式

请教一道不等式。直接柯西没做出来。


______kuing edit in $\LaTeX$______
Let $a$, $b$, $c$ be non-negative numbers, no two of them are zero. Then,
\[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant1.\]

这个貌似是熟悉的：
$x$, $y$, $z>0$, $xyz=1$ 有
\[\frac1{x^2+x+1}+\frac1{y^2+y+1}+\frac1{z^2+z+1}\geqslant1.\]
证明不太了解，只会bao力展开为 $x^2+y^2+z^2\geqslant xy+yz+zx$……
问px应该更清楚

2# kuing
令$x=\frac{bc}{a^2},y=\frac{ac}{b^2},z=\frac{ab}{c^2}$,于是需要证明
$$\sum\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}\geqslant1$$.
由CS，$$LHS\geqslant\frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sum a^4+abc\sum a+\sum b^2c^2}$$
只需证明$$\left(\sum a^2\right)^2\geqslant\sum a^4+abc\sum a+\sum b^2c^2$$
它等价于$$\sum a^2(b-c)^2\geqslant0$$,显然.
当且仅当$a=b=c$,即$x=y=z$时取到等号.

oh，原来是这样，汗，我刚才在另一个贴子里用过这代换，怎么这个没考虑……