[不等式] 三元不等式$abc=1,a,b,c>1/4$

Let $abc=1,a,b,c>\dfrac14$,prove that:
\[\sum\frac1{4a-1}\ge1\]

1# 图图


kuing是故意留下的么？呵呵
in fact,CS kills it
proof:
by note :$ a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z} $
we rewrite the inequality into:
\[ \frac{x}{4y-x}+\frac{y}{4z-y}+\frac{z}{4x-z}\geq 1 \]
by Cauchy-Schwarz:
\[  \frac{x}{4y-x}+\frac{y}{4z-y}+\frac{z}{4x-z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{4(xy+yz+xz)-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \]
Therefore,it suffice to check that:
\[  \frac{(x+y+z)^{2}}{4(xy+yz+xz)-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \geq 1 \]
Which is \[ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca \]
Done!

这种方法都成套路了！
可不可以分母换元？

3# yes94
还好导数也可以,$a=e^x,b=e^y,c=e^z,x+y+z=0$
\[f(x)=\frac{1}{4e^x-1},4e^x>1,f'(x)=\frac{-4e^x}{(4e^x-1)^2},f''(x)=\frac{16e^{2x}+4e^x}{(4e^x-1)^3}>0\]
用下琴生不等式.

4# realnumber
这种代换有时候求导很危险，因为二阶导数不恒正（负），切线法也失效。
但这次运气超好的哦

5# yes94
是啊,有时还可以缩小范围,比如本题$\frac{1}{4a-1}>1$,可得$a>\frac{1}{2}$,又$abc=1$,所以$a,b,c\in (0.5,4)$,还不行的话,半凹半凸还有机会