[不等式] 一道三角形不等式（from 人教数学群）

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2013-4-27 18:49

后面他并没有写出用“亲生”的过程，其实用常规方法就很简单。

下面证明在非钝角 $\triangle ABC$ 中恒有
\[\sin A+\sin B+\sin C\geqslant \cos A+\cos B+\cos C+1.\]
证明：
\begin{align*}
& \sin A+\sin B-\cos A-\cos B \\
={}& 2\cos \frac{A-B}2\sin \frac{A+B}2-2\cos \frac{A-B}2\cos \frac{A+B}2 \\
={}& 2\cos \frac{A-B}2\left( \cos \frac C2-\sin \frac C2 \right),
\end{align*}
由 $\triangle ABC$ 为非钝角三角形易知 $\cos(C/2)\geqslant\sin(C/2)$ 以及 $\abs{A-B}\leqslant \pi-A-B=C$，于是得到
\begin{align*}
\sin A+\sin B-\cos A-\cos B&\geqslant 2\cos \frac C2\left( \cos \frac C2-\sin \frac C2 \right) \\
& =1+\cos C-\sin C,
\end{align*}
即
\[\sin A+\sin B+\sin C\geqslant \cos A+\cos B+\cos C+1.\]

忘了说取等条件，事实上，等号成立当且仅当 $\triangle ABC$ 为直角三角形。

赞一个！ 由两个角的三角函数变形得出.