[不等式] 又摘一不等式(第20届伊朗加强)

本帖最后由 reny 于 2013-4-27 23:18 编辑

设$x,y,z>0,x^2+y^2+z^2+xyz=4$,求证$$x+y+z\leqslant\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}+\sqrt{2-z}$$.
摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101kgc5.html

reny

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2^#

发表于 2013-4-27 23:18

本帖最后由 reny 于 2013-4-27 23:19 编辑

貌似不必限制$x,y,z$的范围.
同时，它也等价于：
在$\triangle ABC$中，成立$$\sin\left(\frac{A}{2}
\right)+\sin\left(\frac{B}{2}\right)+\sin\left(\frac{C}{2}\right)\geqslant\cos A+\cos B+\cos C.$$

kuing

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3^#

发表于 2013-4-27 23:21

2# reny

嗯，三角换元后就是这样，我也看到了这点，不过还没证出来，不知是不是已知的不等式，一时也查不到。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

reny

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4^#

发表于 2013-4-28 11:48

1# reny
看到一个好的解法：
$a+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2\leqslant2$(由余弦换元可证)
于是，$\frac{b+c}{2}\leqslant\sqrt{2-a}$,从而$a+b+c\leqslant\sqrt{2-a}+\sqrt{2-b}+\sqrt{2-c}$.

yes94

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5^#

发表于 2013-4-28 12:22

4# reny
这个局部不等式不好找，现在看来，好像这个零件不等式又似乎很简单

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