[数论] 又一道递推数列与数论结合题（来自人教群）

昨天那道也是递推数列与数论结合，该贴楼主分类到“数列”，而我还是觉得更主要是数论吧，这次也是，所以我分类到“数论”。

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2013-4-27 00:25

题目：已知 $a_0=a_1=1$, $a_{n+1}=a_na_{n-1}+1$（$n\in\mbb N^+$）。
证明：$n\geqslant2$ 时，$a_n$ 不是完全平方数。

注意到完全平方数除以 $4$ 所得的余数只能是 $0$ 或 $1$，而通过列举发现由 $a_2$ 开始除以 $4$ 所得余数一直是 $2$, $3$, $3$ 循环，于是，我们只要证明的确是循环的就可以了，即我们只要证明：
当 $m\in\mbb N^+$ 时恒有
\begin{align*}
a_{3m-1}&\equiv 2\pmod 4, \\
a_{3m}&\equiv 3\pmod 4 ,\\
a_{3m+1}&\equiv 3\pmod 4 .
\end{align*}

用数归证之，当 $m=1$ 时，直接验证方知成立，假设当 $m=k$ 时成立，则当 $m=k+1$ 时，有
\begin{align*}
a_{3(k+1)-1}&=a_{3k+1}a_{3k}+1\equiv 3\times 3+1\equiv 2\pmod 4 ,\\
a_{3(k+1)}&=a_{3(k+1)-1}a_{3k+1}+1\equiv 2\times 3+1\equiv 3\pmod 4 ,\\
a_{3(k+1)+1}&=a_{3(k+1)}a_{3(k+1)-1}+1\equiv 3\times 2+1\equiv 3\pmod 4,
\end{align*}
可见当 $m=k+1$ 时也成立，从而得证。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）