[不等式] 奥数教程上的题

设$x_1,x_2,\cdots,x_n$为正实数,$S=x_1+x_2+\cdots+x_n$求证：
\[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le1+S+\frac{S^2}{2!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}\]

What is $ S$ ?

2# pxchg1200

别急，楼主打代码还未习惯，紧张打漏了哟

设$x_1,x_2,\cdots,x_n$为正实数,$S=x_1+x_2+\cdots+x_n$求证：
\[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le1+S+\frac{S^2}{2!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}\]
图图 发表于 2011-10-25 00:00

貌似左边直接均值然后用e、泰勒展开什么的...

泰勒似乎米用，还是用数归好了。

由均值有
\[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leqslant\left(1+\frac Sn\right)^n,\]
只要证
\[\left(1+\frac Sn\right)^n\leqslant1+S+\frac{S^2}{2!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}.\]
当 $n=1$ 时不等式显然成立，假设当 $n=k$ 时不等式成立，则当 $n=k+1$ 时，令
\[f(S)=1+S+\frac{S^2}{2!}+\cdots+\frac{S^{k+1}}{(k+1)!}-\left(1+\frac S{k+1}\right)^{k+1},\]
则由归纳假设有
\[f'(S)=1+S+\cdots+\frac{S^k}{k!}-\left(1+\frac S{k+1}\right)^k\geqslant\left(1+\frac Sk\right)^k-\left(1+\frac S{k+1}\right)^k>0,\]
而
\[\lim_{S\to0+}f(S)=1-1=0,\]
从而 $f(S)>0$ 成立，即当 $n=k+1$ 时不等式也成立，由数归知得证。

5# kuing


其实无需数学归纳法，直接二项展开，然后稍微放缩下就好了。。

6# pxchg1200

嗯，即要证
\[\frac{C_{n}^{k}}{n^{k}}\leqslant \frac{1}{k!},\]
代公式化简为
\[n(n-1)\cdots (n-k+1)\leqslant n^{k}.\]

5# kuing


是不是应该说明一下f(0)=0呢？

8# 图图

我不是说了 $\lim_{S\to0+}f(S)=1-1=0$ 了么