[不等式] $ab(4a^{2}+b^{2})$.......

Let $a,b,c \geq 0$ with $ab+bc+ca=2 $ prove that:
\[ ab(4a^{2}+b^{2})+bc(4b^{2}+c^{2})+ca(4c^{2}+a^{2})+7abc(a+b+c)\geq 16 \]

any idea?

2# pxchg1200

暂时的idea是齐次化后配成schur形式
\[\sum(5ab+c^2)(a-b)(a-c)\geqslant 0,\]
待续……又或者不续……

3# kuing


这个也不好判别吧。。。

4# pxchg1200

是的，所以暂时只能待续，还可能待不了续……

5# kuing


Can 看了这题后笑了，并表示Cauchy-Schwarz毫无压力。。。

我也发现了

\begin{align*}
\sum ab(4a^2+b^2)+7abc(a+b+c)\geqslant 16 &\iff \sum ab(4a^2+b^2)+7abc(a+b+c)\geqslant 4(ab+bc+ca)^2\\
&\iff 4\sum a^3b+\sum ab^3 \geqslant 4\sum a^2b^2 +abc(a+b+c)\\
&\iff 4\sum\frac{a^2}c+\sum\frac{b^2}c \geqslant 4\sum\frac{ab}c+\sum a\\
&\iff \sum\frac{(2a-b)^2}c\geqslant\sum a,
\end{align*}

8# kuing


嗯，kuing果然犀利！解答基本一致！！　

9# pxchg1200

我也是看了你说柯西没压力才这样想，一除abc之后果然发现玄机

9# pxchg1200

proof:(can)
\[ ab(2a-b)^{2}+bc(2b-c)^{2}+ca(2c-a)^{2}+7abc(a+b+c)\geq 16-4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \]
\[ ab(2a-b)^{2}+bc(2b-c)^{2}+ca(2c-a)^{2} \geq abc(a+b+c) \]
by CS:
\[ (ab(2a-b)^{2}+bc(2b-c)^{2}+ca(2c-a)^{2})(c+a+b)\geq abc(a+b+c)^{2} \]
Done!

11# pxchg1200

中间一式左边有个括号变成了上标，右边多一个平方

12# kuing


额，输入得太快了，不过Can的柯西还真是犀利！