[不等式] 一个关于4的不等式

设$a,b,c>0$ 证明
\[ \frac{ab}{a^2+4b^2}+\frac{bc}{b^2+4c^2}+\frac{ca}{c^2+4a^2}\leq \frac{3}{5} \]

这个还是可以柯西的，如果把4换成5呢？ 我暂时没想到如何柯西了
\[ \frac{ab}{a^2+5b^2}+\frac{bc}{b^2+5c^2}+\frac{ca}{c^2+5a^2}\leq \frac{1}{2} \]

4的总觉得在哪里见过……就是翻不到……

2# kuing



就当做没见过好啦。柯西了吧

推广上瘾了：
$$\frac{ab}{a^2+\lambda b^2}+\frac{bc}{b^2+\lambda c^2}+\frac{ca}{c^2+\lambda a^2}\leq \frac{3}{\lambda+1}$$

4# tan9p
怎么证明？例如$\lambda=5$,
这正是楼主的问题。

再来一个 $x,y,z>0$,$xyz=1$ 求证：
$$\frac{x}{x^2+\lambda}+\frac{y}{y^2+\lambda}+\frac{z}{z^2+\lambda}\leq \frac{3}{1+\lambda}$$

6# tan9p
来一个齐次同除以后再分数置换，

这两个不等式的推广本质上是一样的，不知道怎么证明。

不能沉呀

坐沙发

4# tan9p
天书已给出$\lambda$是有范围的，不是恒成立的

11# yes94
怎么求范围？

12# 李斌斌755
软件

px 发一下证明吧，不然这贴都被说是水贴了

设$a,b,c>0$ 证明
\[ \frac{ab}{a^2+4b^2}+\frac{bc}{b^2+4c^2}+\frac{ca}{c^2+4a^2}\leq \frac{3}{5} \]

这个还是可以柯西的，如果把4换成5呢？ 我暂时没想到如何柯西了 ...
pxchg1200 发表于 2013-4-24 23:38

4的柯西我想到的是这样子：
先化为完全对称，待证的是
\[ \frac{ab}{a^2+4b^2}+\frac{bc}{b^2+4c^2}+\frac{ca}{c^2+4a^2}\leqslant \frac35,\]
我们令 $a/b=t$, $b/c=u$, $c/a=v$，则等价于 $t$, $u$, $v>0$ 且 $tuv=1$ 时
\[ \frac t{t^2+4}+\frac u{u^2+4}+\frac v{v^2+4}\leqslant \frac35,\]（这就是4#和6#是等价的原因）
再令 $t=xy/z^2$, $u=yz/x^2$, $v=zx/y^2$, $x$, $y$, $z>0$，则又等价于
\[ \frac{xyz^2}{x^2y^2+4z^4}+\frac{x^2yz}{y^2z^2+4x^4}+\frac{xy^2z}{z^2x^2+4y^4}\leqslant \frac35,\]
再变形一下，等价于
\[ \frac{(2z^2-xy)^2}{x^2y^2+4z^4}+\frac{(2x^2-yz)^2}{y^2z^2+4x^4}+\frac{(2y^2-zx)^2}{z^2x^2+4y^4}\geqslant \frac35,\]
由柯西不等式，只要证
\[5\left(2\sum z^2-\sum xy\right)^2\geqslant 3\left(\sum x^2y^2+4\sum z^4\right),\]
这是成立的，但我懒得想妙法了，因为只是四次齐次完全对称，可以直接tao用各种结论……

15# kuing

@kuing. 这个是我的柯西.
\[ \frac{ab}{a^2+4b^2}+\frac{bc}{b^2+4c^2}+\frac{ca}{c^2+4a^2}\leq \frac{3}{5}\]
不等式等价于
\[ \sum{\frac{(2b-a)^2}{a^2+4b^2}}\geq \frac{3}{5}\]
然后用Cauchy-Schwarz
\[ \sum{\frac{(2b-a)^2}{a^2+4b^2}}=\sum{\frac{(2b^{2}-ab)^2}{a^2b^2+4b^4}}\geq \frac{(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca)^2}{4\sum{b^4}+\sum{a^2b^2}}\]
这里有一点值得注意就是如果配成
\[ \frac{(2b-a)^4}{(2b-a)^2(a^2+4b^2)}\]
再柯西，运算量明显大一些，而若配成
\[ \frac{(a^2-2ab)^4}{a^4+4b^2a^2} \]
柯西，则会放缩过头。估计是$\sum{a^4}$的系数不够高而导致的。
最后只要验证
\[  \frac{(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca)^2}{4\sum{b^4}+\sum{a^2b^2}}\geq \frac{3}{5}\]
这个是4次对称的，所以。。。

16# pxchg1200

原来如此，嗯，那样柯西，不用换元柯过去后也是对称了，最后要证的式子跟我的完全也一样……

感谢两位！！！

18# huamahu
怪了？
明明看见县长最后发言，怎么进来发现最后发言是huamahu？

20# yes94

我没删，或是自删，又或是被hx了