[不等式] 用CYH技术弄的一个不等式

设$a,b,c>0$ 且$a+b+c=3 $,证明:
\[ \frac{a}{\sqrt{b+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a+b^2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\]
证明由CYH技术。
\[ \left(\sum{\frac{a}{\sqrt{b+c^2}}}\right)^{2}\left(\sum{a(2a+b)^3(b+c^2)}\right)\geq \left(2\sum{a^2}+\sum{ab} \right)^3 \]
所以只要证明
\[ 2\left(2\sum{a^2}+\sum{ab}\right)^3\geq 9\left(\sum{a(2a+b)^3(b+c^2)}\right)\]
开来后就是
\[ 16\sum{a^6}+21\sum{ab^5}-33\sum{a^4c^2}+33abc\sum{a^2b}-48abc\sum{ab^2}-4\sum{a^3b^3}+21\sum{a^4bc}-18a^2b^2c^2\geq 0\]
不会SOS-Schur.谁来继续下。

Let's solution say the method!

kuing

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2^#

发表于 2013-4-25 00:10

1# pxchg1200

又是 2a+b……这会比较强么？

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

reny

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3^#

发表于 2013-4-25 12:30

1# pxchg1200
$16\sum{a^6}+21\sum{ab^5}-33\sum{a^4c^2}+33abc\sum{a^2b}-48abc\sum{ab^2}-4\sum{a^3b^3}+21\sum{a^4bc}-18a^2b^2c^2\geq 0$
由$Muirhead$定理，应该能判断吧