[数列] 有限个正整数

设$a,b$是正整数，求证：数列\[f(n)=\left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n\]只包含有限多个正整数。

设$a,b$是正整数，求证：数列\[f(n)=\left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n\]只包含有限多个正整数。
Gauss门徒 发表于 2013-4-22 15:40

为什么我觉得除了 n=1 之外都不会是正整数？

为什么我觉得除了 n=1 之外都不会是正整数？
kuing 发表于 2013-4-22 16:33

$a=1$，$b=2$，$f(3)=19$

3# hejoseph

oh，是这样，我想错了……状态太差了最近……

4# kuing
没事，这是猜想。
我们需要大胆的猜想。
当然，猜想就有成功的时候，同时也蕴含了失败的时候。
如果不猜想，就无所谓失败，当然也不见成功。
想当年著名费马先生留下两个猜想，有一个正确，另一个错误。

5# yes94
这是大学的东东？

6# 李斌斌755
什么大学的东东？

7# yes94
那是中学的

$f(n)=\frac{p^n+q^n}{2^n}$,其中p,q为正奇数,容易得n为偶数时,$2\mid p^n+q^p ,4\nmid p^n+q^n$,
而n为奇数时,$p^n+q^n=(p+q)(p^{n-1}-p^{n-2}q+p^{n-3}q^2-\cdots +q^{n-1})$,其中$(p^{n-1}-p^{n-2}q+p^{n-3}q^2-\cdots +q^{n-1})$为奇数,所以问题化为对于给定的正整数$a,b,p=2a+1,q=2b+1$,仅有有限个n有$2^n\mid{p+q}$,
显然成立.
---已经改正.按楼下提示

9# realnumber

打错了两个字母，看懂了……
我的反应好慢……

9# realnumber

打错了两个字母，看懂了……
我的反应好慢……
kuing 发表于 2013-4-24 13:47

我的反应更慢……，还没看懂