来自人教群的一道看上去不太常规的简单题

教师-齐建民  14:03:14

(49.04 KB)

2013-4-22 14:32

群管-kuing  14:07:16
分a1=0和2讨论就行了
群管-kuing  14:08:23
目测C

[中间省略一段乱七八zao]

群管-kuing  14:16:53
若 a1=0，则 W=a2/3^2+...+a100/3^100<=2/3^2+...+2/3^100<1/3；
若 a1=2，则 W>=2/3。
于是C。

为方便以后存档，打成 $\LaTeX$ 先。
题目：已知集合 $M=\{0,2\}$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\in M$（$n=1$, $2$, $3$, \ldots），设
\[W=\frac{a_1}3+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{100}}{3^{100}},\]
则 $W$ 一定不属于区间（）
A. $[0,1)$ B. $(0,1]$ C. $\left[\dfrac13,\dfrac23\right)$ D. $\left(\dfrac13,\dfrac23\right]$

解：若 $a_1=0$，则由 $a_i\leqslant2$ 知 $W\leqslant2/3^2+2/3^3+\cdots+2/3^{100}<1/3$；
若 $a_1=2$，则由 $a_i\geqslant0$ 显然 $W\geqslant2/3$。
于是 C。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

yes94

论坛元老

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2^#

发表于 2013-4-22 17:49

这种题入口高，先吓唬吓唬人。的确很多人都要被吓住。
一旦入了，就发现好简单！
基于此，k版加了个标题：“一道看上去不太常规的简单题”，
意即本题是常规的！并且本题还是简单的！
自然会思索：本题是怎么编写出来的呢？
从另外一个角度看，这是一个三进制的纯小数：$W=(0.a_1a_2a_3\cdots a_n)_3$，其中$a_k=0或2,k=1,2,3,\cdots n$.
例如：$W_1=(0.022002002)_3$，$W_2=(0.20022002002)_3$之类的，
显然，$W_1=(0.022002002)_3<(0.1)_3=\dfrac13$，$W_2=(0.20022002002)_3\geqslant(0.2)_3=\dfrac23$