[不等式] 来着BQ的一题

设$x,y,z>0$,$xy+yz+xz=1$,证明
\[ \frac{x^2}{1-xy}+\frac{y^2}{1-yz}+\frac{z^2}{1-zx}\geq x^2+y^2+z^2+\frac{1}{2}\]

Let's solution say the method!

pxchg1200

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2^#

发表于 2013-4-22 23:05

本帖最后由 pxchg1200 于 2013-4-22 23:09 编辑

唉，没人玩，我来柯西吧。
证明：不等式等价于
\[ \frac{x^2}{z(x+y)}+\frac{y^2}{x(y+z)}+\frac{x^2}{y(x+z)}\geq x^2+y^2+z^2+\frac{1}{2}(xy+yz+xz) \]
由Cauchy-Schwarz不等式，我们有

\[ \left(\sum{\frac{x^2}{z(x+y)}}\right)\left(\sum{(2x+y)^{2}\cdot z(x+y)}\right)\geq \left(2\sum{x^2}+\sum{xy}\right)^{2} \]
故只要证明

\[ 4\left(\sum{x^2}+\frac{1}{2}\sum{xy}\right)(xy+yz+xz)\geq \sum{(2x+y)^{2}\cdot z(x+y)} \]
展开就是
\[ 3\sum{xz^3}+2\sum{x^2y^2}\geq 5xyz\sum{x} \]
即

\[ 2\sum{\frac{xy}{z}}+3\sum{\frac{z^2}{y}}\geq 5(x+y+z) \]
由AM-GM和Cauchy-Schwarz显然。
Done!

Let's solution say the method!

tan9p

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3^#

发表于 2013-4-23 22:30

$4\left(\sum{x^2}+\frac{1}{2}\sum{xy}\right)(xy+yz+xz)\geq \sum{(2x+y)^{2}\cdot z(x+y)}$
没看懂，后来懂了。

reny

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4^#

发表于 2013-4-24 13:02

本帖最后由 reny 于 2013-4-24 13:09 编辑

看来2很重要啊，$\left(\sum{\frac{x^2}{z(x+y)}}\right)\left(\sum(\Large{\color{red}{2}}x+y)^{2}\cdot z(x+y)\right)\geqslant \left(2\sum{x^2}+\sum{xy}\right)^{2}$

kuing

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5^#

发表于 2013-4-24 13:33

看来2很重要啊，$\left(\sum{\frac{x^2}{z(x+y)}}\right)\left(\sum(\Large{\color{red}{2}}x+y)^{2}\cdot z(x+y)\right)\geqslant \left(2\sum{x^2}+\sum{xy}\right)^{2}$
reny 发表于 2013-4-24 13:02

\Large{\color{red}{2}} --> {\Large\color{red}{2}}
$\left(\sum{\frac{x^2}{z(x+y)}}\right)\left(\sum({\Large\color{red}{2}}x+y)^{2}\cdot z(x+y)\right)\geqslant \left(2\sum{x^2}+\sum{xy}\right)^{2}$

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）