[组合] 一道排列组合题

一道排列组合题

1# 转化与化归
（1）两种方法，方法一：求导得，$f'(0)=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$
方法二：当取因式$(1+kx)$里的$kx$时，其余因式只能取1，对$k$求和得，$a_1=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$

2# yes94
（2）当取因式$(1+kx)(1+mx)$里的$kx$和$mx$时，其余因式只能取1，对$k、m$求和得，\[a_2=\sum_{1\leqslant k<m\leqslant n}{km}=?\]
$2a_2+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{[n(n+1)]^2}{4}$，故$a_2=\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$，对不对？
其余可仿照这样做？或是建立递推？
中午休息一下，

3# yes94
a(2)是对的，这样的递推很难往后推啊！

4# 转化与化归
你有$a_3,a_4$答案没？写出来我看看，我怕算错了

5# yes94
没有答案，算到a(2)就结束了

5# yes94
刚算了一下a3,a4,供你参考

7# 转化与化归
那说明的确难算，我得到了关系式