[不等式] 来自三角代换的不等式

已知正实数$x,y,z$满足$xy+yz+zx=1$,求证$$\frac{x}{z(x+y)}+\frac{y}{x(y+z)}+\frac{z}{y(z+x)}\geqslant\frac{3\sqrt3}{2}(*)$$
$\color{green}{代换自}$：在锐角$\triangle ABC$中，求证$\sum_{cyc}\frac{\cos A\sin B}{\cos C}\geqslant \frac{3\sqrt3}{2}$
PS、这个不等式不知道出现过没有，是由下面的类比过来的，不过用几组数据测试应该是对的.
在锐角$\triangle ABC$中，成立(已解决)
$$\sum_{cyc}\frac{\sin A\cos B}{\cos C}\geqslant\frac{3\sqrt3}{2}  …和(*)类似$$
$$1<\sum_{cyc}\frac{\cos A\sin B}{\sin C}<2、1<\sum_{cyc}\frac{\sin A\cos B}{\sin C}<2$$
$$\sum_{cyc}\frac{\cos A\cos B}{\cos C}\geqslant\frac32$$
$$\sum_{cyc}\frac{\sin A\sin B}{\sin C}>\frac5 2$$
$$\sum_{cyc}\frac{\sin A\sin B}{\cos C}\geqslant\frac9 2$$
$$\sum_{cyc}\frac{\sin A\sin B}{\sin C}\leqslant\frac{\sqrt3}{2}$$

标题是啥意思……

2# kuing
本来是个三角不等式的，我用余切代换过来的，觉得这样证明要简单点

由CS,$$ \sum_{cyc}\frac{x}{z(x+y)}\geqslant\frac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc}xy^2+3xyz}$$
需要证明$$\frac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc}xy^2+3xyz}\geqslant\frac{3\sqrt3}{2}$$
齐次化，即证$4(x+y+z)^4(xy+yz+zx)\geqslant27\left(\sum_{cyc}xy^2+3xyz\right)^2$
然后，怎么办
高手们，来帮忙

4# reny

昨晚我就这样考虑过，但是由于次数太高而且轮换，还在寻找突破ing……

5# kuing
就是啊，如果是对称和就好了

4# reny


继续柯西啊，
我们要证明
\[ 4(x+y+z)^4(xy+yz+xz)\geq 27\left(\sum_{cyc}{xy^2}+3xyz\right)^{2}\]
注意到由Cauchy-Schwarz,我们有
\[\left(\sum_{cyc}{xy^2}+3xyz\right)^{2}=\left(\sum_{cyc}{xy(y+z)}\right)^{2}\leq (xy+yz+xz)\left(\sum{xy(y+z)^2} \right)\]
所以只要证
\[ 4(x+y+z)^4\geq 27\left(\sum{xy(y+z)^2} \right)\]
展开
\[  4\sum{x^4}+16\sum{x^3y}-11\sum{xy^3}+24\sum{x^2y^2}-33\sum{x^2yz}\geq 0 \]
现在套结论
\[ 3m(m+n)-(p^2+pg+g^2)=201>0 \]
其中\[ m=4,n=24,p=16,g=-11 \]
所以不等式得证！

7# pxchg1200
$3m(m+n)-(p^2+pg+g^2)$是个结论吗？ 怎么来滴

居然套用这个结论……

8# reny


Vo Quoc Ba Can的四次配方。
四次配方.pdf (65 KB)

下载次数: 5

2013-4-19 22:31

9# kuing


不套也行，用Vasc不等式，可以变成
\[ 4\left[(x^2+y^2+z^2)^2-3(xy^3+yz^3+zx^3)\right]+\sum{xy^3}+16\sum{x^3y}+16\sum{x^2y^2}-33\sum{x^2yz}\geq 0 \]
后面有
\[ \sum{xy^3}\geq xyz(x+y+z) \]
等价于
\[ \frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}\geq x+y+z \]
同样有
\[ \sum{x^3y}\geq xyz(x+y+z)\]
和
\[ \sum{x^2y^2}\geq xyz(x+y+z) \]

11# pxchg1200

嗯，如果没计算错误的话，这样显然好多了

11# pxchg1200
谢谢你的解答和提供的资料

13# reny


不用客气，大家一起讨论学习。