[不等式] 额，午觉没睡着，爬起来贴个题

Let$x,y,z \geq 0 $ prove that:
\[ (x^{2}+y^{2}+z^{2})[\frac{x^{2}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y^{2}+xz)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z^{2}+xy)^{2}}]\geq \frac{9}{4} \]

(和Iran 96 一样的$ \frac{9}{4}$ ,不过SOS计算量大了不是一点点。。。 ）另外，为何我的题都没人做啊？！（too easy? or too hard ?)

1# pxchg1200

等我状态好起来，定当奉陪到底……

2# kuing

你怎么也会状态不好啊？ 我记得当年kuing在Mathlink上叱咤风云，一天秒个30多题，那个神呐！！！

3# pxchg1200

夸张…………

4# kuing


真的，就一年前我刚上去的时候，第一天看你是Posts：470 的样子，第二天就 500+ 了。 不久就 1000+ 了，篇篇都是excellent。

5# pxchg1200

水得比较多；那个可能是熟人评的分……

作置换 $x\to\dfrac1x, y\to\dfrac1y, z\to\dfrac1z$ 变成
\[(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\left( \frac1{(x^2+yz)^2}+\frac1{(y^2+zx)^2}+\frac1{(z^2+xy)^2} \right)\geqslant \frac94.\]
或写成
\[(xy+yz+zx)\left( \frac1{(x+\sqrt{yz})^2}+\frac1{(y+\sqrt{zx})^2}+\frac1{(z+\sqrt{xy})^2} \right)\geqslant \frac94.\]
更像Iran96……不过还没证到

说不定上面这两个已经被研究过了……
我还是停一下，等出处党看过先

8# kuing


呵呵，我不是出处党。。。 不过那个好像Iran 96 部分调整过的结果。。

9# pxchg1200

可惜这个放过头了。
\[ (xy+yz+xz)(\frac{1}{(x+\frac{y+z}{2})^{2}}+\frac{1}{(y+\frac{x+z}{2})^{2}}+\frac{1}{(z+\frac{x+y}{2})^{2}})\geq \frac{9}{4} \]

10# pxchg1200

bottema说这个反向了……

11# kuing


呵呵，我也验证了下。。