[不等式] 切线？

若$a_i>0且\sum_{i=1}^{n} a_i=1$,
证明：$$（a_1+\frac{1}{a_1}）(a_2+\frac{1}{a_2}) \cdots  (a_n+\frac{1}{a_n})\ge (\frac{n^2+1}{n})^n$$

holder+A-G 吧

this?

也行。
我的意思是
\[\prod_{k=1}^n\left(a_k+\frac1{a_k}\right)\geqslant\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}+\frac1{\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}}\right)^n\geqslant\cdots\]

括号里是加的情况比较简单，之前研究过减的http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-982-1-1.html

4# kuing


这是什么不等式

6# yayaweha

就是我2#说的holder不等式，当然你也可以看成是Carlson不等式，因为次数相同……
而关于holder不等式的证明可以参考N年前我QQ空间扯过的http://user.qzone.qq.com/249533164/blog/1247282727里面的引理4，还有包括了一些相关不等式的证明，也可以顺便参考下。

7# kuing


有用的东西

4# kuing


$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdot a_n}+\frac{1}{\sqrt[n]{a_1+a_2\cdot a_n}}$$
下面怎么证？

均值+双勾函数单调性……

我只知道$\sqrt[n]{a_1a_2\cdot a_n}\le n$
$\frac{1}{\sqrt[n]{a_1+a_2\cdot a_n}}\ge \frac{1}{n}$

好像这两个较简单些，对原不等式取对数，用琴生不等式或切线法，求导证明$$ln(x+\frac{1}{x})\ge \frac{n-n^3}{n^2+1}x-\frac{1-n^2}{1+n^2}+ln(n+\frac{1}{n}）$$

10# kuing


我不懂，写出来吧，K

某省三月二模压轴？

不是模拟题，就是作业

某省三月二模压轴也是这题，用的切线法

11# yayaweha
是 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant1/n$

17# kuing


怎么双钩+均值？

记 $t=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$，由均值知 $t\in(0,1/n]$，双勾 $t+1/t$ 在 $(0,1)$ 递减……