[不等式] 四元的关于abcd的放缩的不等式[未解决]

______kuing edit in $\LaTeX$______
$a+b+c+d=4$, $0\leqslant a$, $b$, $c$, $d\leqslant\dfrac43$，求证
\[(abcd)^3\geqslant(4-3a)(4-3b)(4-3c)(4-3d).\]

1# huyuhbb
两边取自然对数，即证$\sum_{cyc}(3lna-ln(4-3a))\geqslant0$,
设$f(x)=3\ln x-\ln(4-3x),x\in(0,\frac43]   (*)$
易证$当x\in[\frac1 2,\frac4 3],F(x)=3\ln x-\ln(4-3x)-6(x-1)\geqslant0$
这是因为$F'(x)=\dfrac{6(x-1)(3x-2)}{x(4-3x)}$.
于是当$a,b,c,d\in(\frac1 2,\frac4 3)$时，$\sum_{cyc}(3lna-ln(4-3a))\geqslant \sum_{cyc}6(x-1)=0$.
若存在$a\in(0,\frac1 2)$,怎么办？

2# reny

oh，切线法

PS、ln -> \ln （注意空格）

话说，我画图看了看，好像切线并不是恒在下方……
再看了下，求导求错了

5# reny

还是不对，应为
\[F'(x)=\frac{6 (x-1) (3 x-2)}{x (4-3 x)}\]

其实换个元似乎就是显然的了。
令 $4-3a=x$, $4-3b=y$, $4-3c=z$, $4-3d=w$，则由条件知 $x$, $y$, $z$, $w\in [0,4]$ 且 $x+y+z+w=4$，这样就有 $a=(4-x)/3=(y+z+w)/3$ 等，然后就不用我说了吧

8# kuing
en，还换元一下就到位了.

8# kuing
....居然换元就证了...

9# reny


怎么个到位？

11# yayaweha

还真要写下去啊。。

左边有个三次,,,,,,,.

13# huamahu

咦，哦，我居然忽略了那个次数 那接下去并不是显然了……
不过现在没心情做题了……

几乎把这个贴给忘了……

如果接着8#的代换，

其实换个元似乎就是显然的了。
令 $4-3a=x$, $4-3b=y$, $4-3c=z$, $4-3d=w$，则由条件知 $x$, $y$, $z$, $w\in [0,4]$ 且 $x+y+z+w=4$，这样就有 $a=(4-x)/3=(y+z+w)/3$ 等，然后就不用我说了吧
kuing 发表于 2013-4-9 18:27

齐次化后等价于
\[4^8(x+y+z)^3(y+z+w)^3(z+w+x)^3(w+x+y)^3\geqslant 3^{12}xyzw(x+y+z+w)^8,\]
而这其实并不是显然的（我当时把左边的3次搞丢了）甚至可能是很难进行下去的……

待续……

见到这些不等式一次，就受虐一次。

16# yes94

不等式与我来说无异于对牛弹琴

17# 李斌斌755
呵呵