[不等式] 前晚幻幻问我的连根式不等式

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2013-4-8 14:59

哎，看到连根式我就晕啦，还好刚才终于想到了。

为了能够放缩并且产生“连锁反应”，于是考虑到寻找 $\sqrt[n]{n+c}<c$ 对一定范围的 $n$ 恒成立的正常数 $c$，显然 $c=2$ 就行了，因为 $n+2<2^n$ 对 $n\geqslant3$ 恒成立，这样，就得到
\begin{align*}
&\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+2}<2 ,\\
&\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}<\sqrt[n-1]{n-1+2}<2 ,\\
&\sqrt[n-2]{n-2+\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}<\sqrt[n-2]{n-2+2}<2 ,\\
&{}\vdots{}\\
&\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots +\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}<\sqrt[3]{3+2}<2 ,\\
&\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots +\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}}<\sqrt{2+2}=2.
\end{align*}

取别的 $c$ 会得到不同的结果，比如说 $c=1.672$ 时，$n+1.672<(1.672)^n$ 也对 $n\geqslant3$ 恒成立，于是仿上，有
\begin{align*}
&\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1.672}<1.672 ,\\
&{}\vdots{}\\
&\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots +\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}<\sqrt[3]{3+1.672}<1.672 ,\\
&\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots +\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}}<\sqrt{2+1.672}\approx1.916246<1.92.
\end{align*}

$f(n)=\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots +\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}}$ 显然是关于 $n$ 递增的，上面已经证明了 $f(n)$ 有上界，即单增有界，必然存在极限，于是继续追问的问题就是
\[\lim_{n\to\infty}f(n)=?\]
PS、不知这是不是 old problem?

3# kuing
看起来比较像，李明曾经研究过这个连根式

4# yes94

所以我给李明留了言，他可能不在线