[不等式] 三角形中的$\max \cdot \min$ 能秒不 (2013年4月高三理科北京西城一模)

设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\le b\le c$.

记$t=\max \left \{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right \}\cdot \min\left \{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right \}. $

(1)若$\triangle ABC$为等腰三角形，则$t=$_______；

(2)设$a=1$，则$t$的取值范围是_______.

北京西城2013年高三一模最一填空题，我只会猜测第一个，第二个都不敢尝试，故发来学习学习。



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以上文字有简写，现附上，图片版原文

蒙，（1）1
      （2）[1,2)

3# 李斌斌755
几何高手！

不会删图

4# yes94
对吗？

不会删图
李斌斌755 发表于 2013-4-8 12:28

see http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-119-1-1.html

蒙，（1）1
      （2）[1,2)
李斌斌755 发表于 2013-4-8 11:54

第二空的上界结果不对，结果是$[1,\dfrac{1+\sqrt5}2)$，
整张试卷：http://pan.baidu.com/share/link?shareid=364288&uk=805596449

6# 李斌斌755
不晓得，总之对你的几何很膜拜，所以没看题 ，先赞一个！

设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\le b\le c$.定义$t=\max \left \{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right \}\cdot \min\left \{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right \}. $

(1)若$\triangle ABC$为等腰三角形，则$t=$_______；

(2)设$a=1$，则$t$的取值范围是_______.

...
isea 发表于 2013-4-8 10:54

（2）依题意可设 $c=ub$，则 $b\geqslant 1$, $u\geqslant 1$，由构成三角形知 $1+b>ub$，于是
\[1\leqslant u<\frac1b+1,\]
而
\begin{align*}
\max \left\{ \frac ab,\frac bc,\frac ca \right\}&=\frac ca=ub, \\
\min \left\{ \frac ab,\frac bc,\frac ca \right\}&=\min \left\{ \frac ab,\frac bc \right\}=\min \left\{ \frac1b,\frac1u \right\},
\end{align*}
于是
\[t=ub\min \left\{ \frac1b,\frac1u \right\}=\min \{b,u\},\]
因 $b\geqslant 1$, $u\geqslant 1$，故 $t\geqslant 1$，当且仅当 $b=u=1$ 时取等；

又
\[t\leqslant u<\frac1b+1\leqslant \frac1t+1 \riff t<\frac{\sqrt5+1}2,\]
当 $b=u\to\bigl(\sqrt5+1\bigr)/2$ 时 $t\to\bigl(\sqrt5+1\bigr)/2$。

综上……

看看这样行不行
a=1，最大的一定是c，最小的不是$\frac{1}{b}$就是$\frac{b}{c}$
如果是$\frac{1}{b} \ge \frac{b}{c}$，则$t=c\frac{b}{c}=b$
所以$\frac{1}{t}\ge\frac{t}{c}$，即$c \ge t^2$
然后$a+b>c$，就是$1+t>c \ge t^2$，就解出来了
如果是$\frac{1}{b} \le \frac{b}{c}$，则$t=\frac{c}{b}$，即$c=bt$
然后$a+b>c$，就是$1+b>c=bt$，得$t<1+\frac{1}{b}$，而且$b \le c$，就是$b \le bt$，得$1 \le t$，因为存在t满足$1 \le t < 1+\frac{1}{b}$，所以最小是1

又错了 ，mix不断变换。

12# 李斌斌755

先把图删一个，见7#

嗯？怎么把贴子删了……

13# kuing
操作错了

要我怎么说你呢……

有点不稳定，刷新后有的贴子没有看到！

16# hongxian

现在应该没问题，原先3#的几何法因为他自己误操作，把贴子删掉了（见上面几层楼）

17# kuing
还可以自己删除自己的整个楼层？

18# yes94

看6#的链接

学习了，9楼，10楼，厉害。

这些不等式转来转去就把偶转晕了

9楼，那种不管你是谁，统统一把抓住，这种技巧实在实用，精巧！