来自pep的函数可导求参数值

已知函数
\[f(x)=\cases{x,&x\leqslant 0,\\ \frac{a+b\cos x}x,&x>0,}\]
在 $x=0$ 处可导，则 $a=?,b=?$
来自 http://bbs.pep.com.cn/thread-1928150-1-1.html

原贴里我一开始目测错了  

要可导首先要连续，于是当 $x\to0+$ 时必须是 0/0 型，否则无穷大，即当 $x\to0+$ 时 $a+b\cos x\to0$，于是显然要有
\[a+b=0,\]
又要
\[\lim_{x\to0}\left(\frac{a+b\cos x}x\right)'=1,\]
由以上两点即
\[\lim_{x\to0}\frac{a(x\sin x+\cos x-1)}{x^2}=1
\iff a\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x-\frac12\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\bigl(\frac x2\bigr)^2}\right)=1\]
由重要极限知
\[\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x-\frac12\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\bigl(\frac x2\bigr)^2}\right)=1-\frac12=\frac12,\]
所以应有
\[a=2.\]

kuing兄的解答有误，解答中用到了导函数的连续性，而题设条件仅仅是“$f(x)$在$x=0$处可导”。
下面给出问题的解答。
解  一方面,因为“$f(x)$在$x=0$处可导，所以“$f(x)$在$x=0$处连续，故有$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{a+b\cos x}{x}=\lim_{x\to 0^-}x=0$,
于是知,$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(a+b\cos x)=0$,
即 $a+b=0$               (1)
另一方面,因为“$f(x)$在$x=0$处可导,所以
$f'_-(0)=f'_+(0)$,
而$f'_-(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0^-}1=1$,
由(1)得 $f'_+(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{a+b\cos x}{x}-0}{x-0}$
$\displaystyle=\lim_{x\to 0^+}\frac{a+b\cos x}{x^2}=a\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x^2}=a\lim_{x\to 0^+}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}$
$\displaystyle=\frac{a}{2}\lim_{x\to 0^+}(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^2=\frac{a}{2}$,
所以 $\displaystyle\frac{a}{2}=1$,
即 $a=2$                  (2)
代入(1)得 $b=-1$,
因此 $a=2, b=-1$.

噢，就是不能直接求导再求极限，而是要用定义式……

PS：
一撇前不用上标，直接先打一撇再用下标即可。即 f'_+(0)=f'_-(0) ，效果 $f'_+(0)=f'_-(0)$
如果用上标的话就要用\prime，即 f_+^{\prime}(0)=f_-^{\prime}(0) ，效果 $f_+^{\prime}(0)=f_-^{\prime}(0)$