[不等式] 2不等式+1组合

组合的第二问..

1# huyuhbb
又一位学生高手光临本论坛，祝贺！

....其实我比较弱的

2# yes94

怎么知道是学生？！

4# 李斌斌755
反正你不是学生

求证明...

都不是简单的东东……三角换元之后也没什么想法……表示还没进入解题状态……

排梨：把2n个梨按质量大小重新排序，质量小在前，质量一样的相邻。组成一新数列an
设a1=a   有           0  =<an－a(n－1)=<1
                            －1=<a1－a2=<０
                            0=<a2n－a(2n－１)=<1
                           －1=<a2n+a1－[a(2n－１)＋ａ２]＝＜１

故把新数列中首尾两个依次装袋后排成的数列ｂｎ  bn=a(2n＋1－k)+ak    （k=1,2,3,…,n)
有　　　　－1=<ｂn－b(n－1)=<1
即相邻口袋的梨重量相差不超过1克。

8# 李斌斌755

主要是第二问那个环不会

9# huyuhbb
我也不会

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2013-4-8 19:43

PS、为什么都不喜欢回贴呢？每次都是我转上来……

11# kuing
Problem:
Let $x,y,z,a,b,c\in R^{+}$,with
\[ \left\{
     \begin{array}{ll}
(x+y)^2=4c^2xy+1, &\\
(y+z)^2=4a^2yz+1, & \\
(z+x)^2=4b^2zx+1, & \\
       a^2+b^2+c^2+2abc=1, &
     \end{array}
   \right.\]
find the min value of $x+y+z$.
Solution:
we note $$a=\frac{u}{\sqrt{(u+v)(u+w)}},b=\frac{v}{\sqrt{(v+u)(v+w)}},z=\frac{w}{\sqrt{(w+v)(w+u)}}$$
Hence we have
\[ a^2+b^2+c^2=\frac{\sum{u^2(v+w)}}{(u+v)(u+w)(v+w)}\geq \frac{3}{4}\]
and by AM-GM
we have
\[ a+b+c\leq \frac{3}{2} \]
Now,due to the condition,we have
\[ \sum{z(x+y)^2}=(x+y+z)+4xyz(a^2+b^2+c^2)\geq (x+y+z)+3xyz \]
Or
\[ xy+yz+xz\geq 1 \]
Which leads
\[ x+y+z\geq \sqrt{3} \]
Done!

有$2n$个梨排成一行，每相邻的两个梨质量不超过$1$克。证明可以将这些梨装在$n$个口袋里并排成一行，使得每两个相邻口袋里的梨也相差不超过$1$克。

http://bbs.hupu.com/3421049.html
百度搜索到的2n个梨,不过没看到答案,是2012年9,10年级的莫斯科数学竞赛题.